回転単位複素行列？
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『複素（共役）数をあらわす行列は$\begin{pmatrix} x & -y \\ y & x \end{pmatrix}$ で表現出来るわけだが。
宇宙にはまだまだ秘密があるってことさ。』 ＜●＞π
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$e^{i\theta}$の単位複素数を求めるに際し、まず複素数$z=a+ib$の基底を考えねばならん。( -_-)
これを実部と虚数の係数単位とすると、$e=\{1,i\}$なんてことになりそうだが。(｀-д-´)y-~~
これを$a+ib$に掛けると$1\cdot (a+ib)=a+ib\hspace{3pt},\hspace{3pt}i\cdot (a+ib)=ia-b=-b+ia$
ふたつの単位ベクターを並べると$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ てな形になりますか。。
てか、それでいいのか？щ(°д°щ) ま、やってみよう。
あ、わかった！ $e^{i\theta}=cos \ \theta + i \ sin \theta$という極座標$\leftrightarrow$直交座標変換でのオイラーの公式から。
$\begin{pmatrix} cos \ \theta & -sin \ \theta \\ sin \ \theta & cos \ \theta \end{pmatrix}$ということで、いわゆる回転行列になるんすな。\(ﾟ`∀´ﾟ)/ｶｲﾃﾝ ｼﾞｪ~ﾑ
これは、結局$SO(2)$（特殊直交群）と同型ということに。
てか、上記の行列がリー群である
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$A=A^{\dag}$はエルミート行列で、$A^{\dag}A$がユニタリ行列ってことだけど。
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になってること確認しないとイケナイんじゃないかって？（ω・｡）ｸﾙｯ
それはワキが臭いだけのおまえらの永遠の課題だろうがっ！( °Д°)ｸﾜｯ （永遠にかかるんかい）
あ、確認という意味ではユニタリ行列$A^{\dag}A=I$ってことになるかと。
これでやっと$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$になるわけですよ。
多分ね。。 いや、ぶっちゃけわからん。
仕方ない。 ちょっとやってみるか。
回転行列そのものでなく、要素を複素数にしなきゃならんようだ。。
てか、対角成分を実数、上三角と下三角を複素共役にすればジャストエルミートなんじゃない？(;´Д｀)
じゃ$\begin{pmatrix} 1 & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}$でお願いします。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ ( ) ( ) ｼ~ﾝ
Rとかようわからんけど、ベタにやってみる。
> mat1[1,1]<-c(1+0i)
> mat1[1,2]<-c(0-1i)
> mat1[2,1]<-c(0+1i)
> mat1[2,2]<-c(1+0i)
> mat1
[,1] [,2]
[1,] 1+0i 0-1i
[2,] 0+1i 1+0i
> mat1^2
[,1] [,2]
[1,] 1+0i -1+0i
[2,] -1+0i 1+0i
こんなん出まスた。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ ( ) ( )
これで合ってるんかいってのがね。。
やっぱ、単純な自乗ではなくmat1の複素共役版$A^\dag$を作りましょう。
> mat2[1,1]<-c(1-0i)
> mat2[1,2]<-c(0+1i)
> mat2[2,1]<-c(0-1i)
> mat2[2,2]<-c(1-0i)
> mat1*mat2
[,1] [,2]
[1,] 1+0i 1+0i
[2,] 1+0i 1+0i
結果違うやんｗ ま、こっちの方が正定値生成複素数単位元っぽいのか？(;´Д｀)
量子力学を理解していない人の数と世界人口は等しい。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ ( ) ( ) ｼ~ﾝ
(；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
アングルモアの大王
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『天使（angel）というものはアングル（angle）だ。
つまりは（ディクロニウス）ベクターにおける角度なのさ。』＜●＞π
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もう夏の疲れがドっと出たのと、モチベーションの低下から不定期に更新したし。
さて、リー群の生成ベクター分類に際し登場した”鏡映”という概念。
これは、物理世界の対称性の数学的表現なんだね。(;´Д｀)/ﾔﾔｺｼｲ
群に対する鏡映作用$\lambda$と何も作用しない単位元$E$と合わせて$\{E,\lambda\}$
これらの合成パターンは$E \circ E = E\hspace{3pt},\hspace{3pt}E \circ \lambda = \lambda \hspace{3pt},\hspace{3pt} \lambda \circ E = \lambda \hspace{3pt},\hspace{3pt}\lambda \circ \lambda= E$
リー代数作用は$E(E,\lambda)=(E,\lambda)\hspace{3pt},\hspace{3pt}\lambda(E,\lambda)=(\lambda,E)$ということで。
これまた簡単杉ワロタという感じになるんである。。
モデルとしては、これ以上簡単には出来ないだろう。
結局、数学的構造が初学者には難しい、ということに尽きるようで。
$g^{N}=E$の最小は$2$ つまり、行列は$2\times 2$を考えればいいわけで。
特殊ユニタリ群などと言われた、行列式が１ってのは単位行列ならばトレース（つまり$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$の左項）が１ってことだね。
じゃ、$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$に決定やないすか。。
大人を舐めんなお！( °Д°)ｸﾜｯ ってな感じに。(ロ_ロ )ｼﾒｼﾒ
『リー群は複素数なんだろ？』＜●＞π
うぉっ！(；o_o) たしかにそういう噂が。。
でも、なんで複素数なんでしょうか？
対称行列だって、わざわざ内積が正定値になるようにしてるんでしょう。
だったら、はじめから実数にすりゃいいじゃない。
『波動関数はどんな量だろうね？』＜●＞π
どんな量？ ミクロ（粒子、量子）の運動量ですよ。
『それは実数になるのかね。』＜●＞π
知りません。 そんなん解いたことないですから。
でも、実数でなければ意味がないでしょうね。
『方程式の解とはN個の固有値$\lambda$ではないか？
で、三次方程式の解の公式では虚数を認めざるをえない、とアンタが言っていたぞ。』＜●＞π
ちょっと待ってください。 私の感想ではなく”当時の数学者達”の感想ですから。
『複素空間は（ディクロニウス）ベクターを表現する空間なんでは？』＜●＞π
ま、それはそうでしょうけど、それは二つの実数でも出来ますからね～。
『二つの実数だがな。』＜●＞π
わかりましたよ、もう～（と言っておこう。）
『いや、わかっていないのだ。 波動ベクターは”複素数”長さ$r$とアングル指数$e^{i\theta}$の内積だ。
リー環上のリー代数も同様に、指数写像$exp:\mathfrak{g}\to G$になるだろう。
リーマン面上では正則関数が定義出来て、リー群と不可分であると。
これもアンタが言っていたと思うがね。これが”エルミート行列”の意味だな。』＜●＞π
あれ？ たしかに。。(；・_・) じゃ複素数自体がリー群ってか？！( °Д°)ﾎｹﾞ~
う～ん。（なんでそうなるのか、やっぱりようわからん）
(；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
モナ道代数
リー群を取りまく状況は、数学の各分野を横断するような内容になっている。
それだけ相互的な理解や存在意義が深まりそうだが。
個々の辻褄はともかく、こういうものは、一網打尽的な視点が欲しくなったりもするんだろうね。
なんといっても、それにふさわしいのは圏論ですか。
下々としては、新たな分野が増えてるだけですやんという風にも感じるが（＾＾；
圏論はどうやら”道”の拡張版のようだ！( °Д°)ｸﾜｯ
集合$\mathcal{O},\mathcal{M}$と写像$s,t:\mathcal{O}\to \mathcal{M}$が与えられたときに、組$\mathit{Q}=\{\mathcal{O},\mathcal{M},s,t\}$を
$\mathcal{M}_n(\mathit{Q}):=\{(f_1,\cdots,f_n)\in \mathcal{M}^n | s(f_i)=t(f_{i+1})\}$と定義し、$\mathcal{M}_n(\mathit{Q})$の元を$\mathit{Q}$の長さ$n$の道という。
$s(f_i)=\nu_i\hspace{3pt},\hspace{3pt}t(f_1)=\nu_0$とするとき、道を$\nu_n\xrightarrow{f_n}\nu_{n-1}\xrightarrow{f_{n-1}}\cdots \nu_1\xrightarrow{f_{1}}\nu_0$と示す。
これが図式をなす”道”であった！！( °Д°)ｸﾜｯ 「逝けばわかるさ」アントニオ猪木
ちなみに、箙とは矢（射）の入れ物であるという。 なるほどね。
ま、道の表現はわかったが、図式というのはこれが数学的に厳密な式である必要がある。
$\mathcal{O}$は実は対象の集合。 $\mathcal{M}$は射の集合なのだ。
$f \in \mathcal{M}$において、$s(f)$が$f$の始域で$t(f)$が終域。
道（箙）に合成関数 $\circ$ を加えたものを圏$\mathcal{C}$という。
写像$1:\mathcal{O}\to \mathcal{M}$が存在し、任意の$f \in \mathcal{M}$に対して$f \circ 1_{s(f)}=f=1_{t(f)}\circ f$（恒等射）
$Hom_\mathcal{C}(A,B)$は$A$から$B$への射の集合であり、$f \in Hom_\mathcal{C}(A,B):A\to B$
$Hom_{\mathcal{C}}(A,A)$は合成を積とし、$1_{A}$を単位元とするモノイド（自己満足の件）となる。
結局、なぜか去年と同じようなパターンに。
しかし、増えたのはツールであってそれを足掛かりに出来るかどうかはまた別問題である。
随伴行列内積単位群
行列$A$に対する$A^{T}A$をグラム行列いうらしい。
へ？(;´Д｀) これ、行列$A$は列だけでもいいんですな。
つまり、ふたつの大きさの等しいベクターの内積がつくる正方行列なんてことで。
なんかに使えそうと思ったら、計量テンソル$g$とかってグラムってことなんじゃ？
リー群$g$もそうだよね。
二変数のカーネル関数（の内積）がヒルベルト空間へのマッピング作用素になる、てなことですやね。
いやいや、これ$A$の内積なんだから、大きさのみならず全く同じものじゃない。
$A=A^{T}$は対称行列で、$A^{T}A$は直交行列でこれの複素数版がユニタリ行列だったな。。(;´Д｀)ﾅﾆｶﾞﾅﾆﾔﾗ
$A=A^{\dag}$はエルミート行列で、$A^{\dag}A$がユニタリ行列ってことだけど。
てなわけで、ユニタリ行列はグラム行列なんですな。
だからなんなの？ってのは$\|Ax\|^2 \geq 0$ってな性質があって、半正定値性などというんだね。
ということで、リー群の中身はどうやら複素数の（共役の）内積になるんすな。
ま、実際、量子力学はそんなことやってるハズなんだけど。
案の上、リー代数$[X_i,X_j]=if_{ijk}X_k$の$X$はエルミート行列で。
そのユニタリ行列であるグラム行列$g_{ij}:=(X_i,X_j)$をカルタン計量言うんですな。\(ﾟ`∀´ﾟ)/ｶﾙﾀﾝ ｼﾞｪ~ﾑ
$A=a^iX_i\hspace{2pt},\hspace{2pt}B=b^iX_i$のときは$(A,B)=g_{ij}a^{i}b^{j}$と書ける（キリング形式）と。
なんとも、それらしい体裁になってきたデ！( °Д°)ｸﾜｯ
そうか、これが関数値$\phi$の積分ならルベーグ積分になるんだ。
まさに完備なヒルベルト空間で、複素平面、リーマン球面、開円板は共形同値であるという。
これが一意化定理というもので、”地図帳”の根拠になっていたもんなんですな。
リー（群論）、多様体（位相）、ヒルベルト空間（線型代数）、複素関数論がひとつに繋がってきた。
ちなみに、キリング形式がなぜあるかっていうのは、リー代数の線形空間への変換なんだね。
リー代数の線型空間への表現は$\pi:\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(V)$であり、核が自明なら忠実であるという。
つまり単射$\hookrightarrow$の双対関係になる。
この対応を随伴と言って、$ad(x)(y)=[x,y]$で与えられる。
かくして、各リー・エルミート行列の固有値付ベクター$H|x\rangle = \lambda | x \rangle$という、量子力学的表現になる。
(oФAФ)oΨಠﭛಠ＜◎＞ (o_o；)ﾉﾞ ＜●＞π ( ) ( )
バベルのリーマン塔
熱中症対策に塩コンニャクゼリー（レモン、梅）なるものを買っておいたが、これがクセになって困る。
さて、なんでもいいからリーマン面をプロットしたところ。( ・༥・）ﾓｸﾞﾓｸﾞ
もうちょっと見栄えはなんとかなるんだろうが、まぁええ。
要は一周したら別の（リーマン）面に移るということですな。
但し、これはあくまで非コンパクトな複素平面が束になっとるだけである。
もうちょっとうまく高次に対応出来んものか？
ちなみに、ある境界上の関数の内側が調和するような関数を求めるのがディレクレ問題で、リーマンによって命名されたそうな。
ディレクレは$\displaystyle \int_{\omega}|\nabla \nu |^2$（ディリクレ積分）を最小とするものを見つけることで調和関数を発見する手法を編み出していたという。
この$\nu$ってのは、$f(x+iy)=\mu(x,y)+i \nu(x,y)$の虚部の実関数ということだろう。
いわゆるコーシー・リーマンの関係式から、自然と調和関数$\mu$が導かれるってことかな。
なるほど、うっすらわかる希ガス。
調和関数と言えば $\Delta f=0$、つまり２回微分の和が０になるという、ラプラス校長和関数である。＜◎＞
それは関数$y=f(x)$上の任意の点$A=(a,f(a))$と$B=(b,f(b))$を結ぶ直線が関数曲線と重なるような滑らかな関数であるということで、それが”宇宙大調和”の由来！！( °Д°)ｸﾜｯ
ちな、$f^{\prime \prime}(x)\le 0$なら上に凸、$f^{\prime \prime}(x)\ge 0$なら下に凸の関数波形になるんすな。
簡単に言えば、この$f$の中身なんだよ？ってことで。
未知関数ということで、変分的な二変数の展開形でかけば、$\displaystyle \bigg( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\bigg) \phi(x,y)=0$
さらに境界条件として、
$\phi(x,0)=\phi_1 \hspace{3pt} , \hspace{3pt}\phi(x,a)=\phi_2$を満たす$\phi$ を教えろ下さいてなことで、これわイヤですぅ。（＾＾；
リーマンは球面調和関数に、無限遠点を加えた複素拡張平面$\hat{\mathbb{C}}$からの写像を考え、それをリーマン球面と名付けたそうな。。
これで$f(z)=a$のまわりで$a$を極というのが自然な感じになる。
ちな、領域$\Omega$内の任意のジョルダン曲線$C$が常に$(C)\subset \Omega$のとき、$\Omega$は単連結なんですと。
ジョルダン曲線とは自分自身と交わらない曲線ということで、ループといってもいいねっ！( °Д°)ｸﾜｯ
その複体がリーマン多様体で、複素平面（ヒルベルト空間）との$C^{\infty}$対応をもつのか。
イイカンジだっ！( °Д°)ｸﾜｯ $\Rightarrow$ やりたいとか言ってない。
言葉の綾、無限獣はガウスの弟子地球人類の天才リーマンによって克服されたのか。
(oФAФ)oΨಠﭛಠ＜◎＞ (o_o；)ﾉﾞ ＜●＞π ( ) ( )
