随伴行列内積単位群

行列$A$に対する$A^{T}A$をグラム行列いうらしい。

へ？(;´Д｀)　これ、行列$A$は列だけでもいいんですな。

つまり、ふたつの大きさの等しいベクターの内積がつくる正方行列なんてことで。

なんかに使えそうと思ったら、計量テンソル$g$とかってグラムってことなんじゃ？

リー群$g$もそうだよね。

二変数のカーネル関数（の内積）がヒルベルト空間へのマッピング作用素になる、てなことですやね。

いやいや、これ$A$の内積なんだから、大きさのみならず全く同じものじゃない。

$A=A^{T}$は対称行列で、$A^{T}A$は直交行列でこれの複素数版がユニタリ行列だったな。。(;´Д｀)ﾅﾆｶﾞﾅﾆﾔﾗ

$A=A^{\dag}$はエルミート行列で、$A^{\dag}A$がユニタリ行列ってことだけど。

てなわけで、ユニタリ行列はグラム行列なんですな。

だからなんなの？ってのは$\|Ax\|^2 \geq 0$ってな性質があって、半正定値性などというんだね。

ということで、リー群の中身はどうやら複素数の（共役の）内積になるんすな。

ま、実際、量子力学はそんなことやってるハズなんだけど。

案の上、リー代数$[X_i,X_j]=if_{ijk}X_k$の$X$はエルミート行列で。

そのユニタリ行列であるグラム行列$g_{ij}:=(X_i,X_j)$をカルタン計量言うんですな。\(ﾟ`∀´ﾟ)/ｶﾙﾀﾝ ｼﾞｪ~ﾑ

$A=a^iX_i\hspace{2pt},\hspace{2pt}B=b^iX_i$のときは$(A,B)=g_{ij}a^{i}b^{j}$と書ける（キリング形式）と。

なんとも、それらしい体裁になってきたデ！( °Д°)ｸﾜｯ

そうか、これが関数値$\phi$の積分ならルベーグ積分になるんだ。

まさに完備なヒルベルト空間で、複素平面、リーマン球面、開円板は共形同値であるという。

これが一意化定理というもので、”地図帳”の根拠になっていたもんなんですな。

リー（群論）、多様体（位相）、ヒルベルト空間（線型代数）、複素関数論がひとつに繋がってきた。

ちなみに、キリング形式がなぜあるかっていうのは、リー代数の線形空間への変換なんだね。

リー代数の線型空間への表現は$\pi:\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(V)$であり、核が自明なら忠実であるという。

つまり単射$\hookrightarrow$の双対関係になる。

この対応を随伴と言って、$ad(x)(y)=[x,y]$で与えられる。

かくして、各リー・エルミート行列の固有値付ベクター$H|x\rangle = \lambda | x \rangle$という、量子力学的表現になる。

(oФAФ)oΨಠﭛಠ＜◎＞ (o_o；)ﾉﾞ ＜●＞π 　(　 ) (　 )