モナ道代数
リー群を取りまく状況は、数学の各分野を横断するような内容になっている。
それだけ相互的な理解や存在意義が深まりそうだが。
個々の辻褄はともかく、こういうものは、一網打尽的な視点が欲しくなったりもするんだろうね。
なんといっても、それにふさわしいのは圏論ですか。
下々としては、新たな分野が増えてるだけですやんという風にも感じるが（＾＾；
圏論はどうやら”道”の拡張版のようだ！( °Д°)ｸﾜｯ
集合$\mathcal{O},\mathcal{M}$と写像$s,t:\mathcal{O}\to \mathcal{M}$が与えられたときに、組$\mathit{Q}=\{\mathcal{O},\mathcal{M},s,t\}$を
$\mathcal{M}_n(\mathit{Q}):=\{(f_1,\cdots,f_n)\in \mathcal{M}^n | s(f_i)=t(f_{i+1})\}$と定義し、$\mathcal{M}_n(\mathit{Q})$の元を$\mathit{Q}$の長さ$n$の道という。
$s(f_i)=\nu_i\hspace{3pt},\hspace{3pt}t(f_1)=\nu_0$とするとき、道を$\nu_n\xrightarrow{f_n}\nu_{n-1}\xrightarrow{f_{n-1}}\cdots \nu_1\xrightarrow{f_{1}}\nu_0$と示す。
これが図式をなす”道”であった！！( °Д°)ｸﾜｯ 「逝けばわかるさ」アントニオ猪木
ちなみに、箙とは矢（射）の入れ物であるという。 なるほどね。
ま、道の表現はわかったが、図式というのはこれが数学的に厳密な式である必要がある。
$\mathcal{O}$は実は対象の集合。 $\mathcal{M}$は射の集合なのだ。
$f \in \mathcal{M}$において、$s(f)$が$f$の始域で$t(f)$が終域。
道（箙）に合成関数 $\circ$ を加えたものを圏$\mathcal{C}$という。
写像$1:\mathcal{O}\to \mathcal{M}$が存在し、任意の$f \in \mathcal{M}$に対して$f \circ 1_{s(f)}=f=1_{t(f)}\circ f$（恒等射）
$Hom_\mathcal{C}(A,B)$は$A$から$B$への射の集合であり、$f \in Hom_\mathcal{C}(A,B):A\to B$
$Hom_{\mathcal{C}}(A,A)$は合成を積とし、$1_{A}$を単位元とするモノイド（自己満足の件）となる。
結局、なぜか去年と同じようなパターンに。
しかし、増えたのはツールであってそれを足掛かりに出来るかどうかはまた別問題である。
