ひまわり

ひまわり

地球人類の線形代数へのIDまたはパスワードがちが旨す。( ・ิω・ิ)ナンノコッチャ  (  ) (  ) シ~ン

連結環群ベクター

連続写像というのを$\delta\varepsilon$で説明すると。

本当は$x+\delta,\varepsilon = f(x+\delta)$ということなのだろうが、簡単のため$\delta$をパラメータ、$\varepsilon$を関数にしよう。

要は、$\varepsilon_{\infty}(\delta_{\infty})\subset \varepsilon_{\infty-1}(\delta_{\infty-1})\cdots \subset \varepsilon_2( \delta_2) \subset \varepsilon_1( \delta_1)$

という系列がとれるということであり。

厳密に言えば、$\{ \delta_{x+1} \subset \epsilon_x (\delta_x) \}$が途中に入る。(からややこしくなり、精神衛生上悪いのだ!)

 

位相空間間なら連続写像は$O \in \mathfrak{O_{\epsilon}} \Rightarrow f^{-1}(O)\in \mathfrak{O_{\delta}}$ということらしい。

どうしてこうなるんだ?(;´Д`) と考えるに、位相空間には連続性が担保されているとしか言えまい。

位相空間とは、論理演算に閉じている開集合系だった。

ん?互いに素な集合ならば、開も閉もなく非連結でわ?(;´Д`)ヤバクネ?

あ、だから被覆という糊代(連結部分)があるという風にするわけか???

被覆定理は、集合がコンパクトなら有限個の被覆で覆えるという可能性に言及しているだけじゃん。

$O$の論理積が開集合系$\mathfrak{O}$に属すとは、互に素でない部分を持つのが(位相空間の)条件てこと?

違うな。だから$\varnothing$(空集合)は開集合系に含まれるよ~と最初に定義されておったのだ。

そうか、コンパクトの定義は部分集合族の論理和で、それが被覆だした。。(◎◎;)(錯乱)

それ(開被覆)って、$\delta \varepsilon$の$\varepsilon$近傍なんだ!

ある点の近所がどこかの近所と交わってりゃ連結でいいじゃん、みたいな。

やっと記事近傍が繋がったぞ!(´ཀ`ガクッ

 

ちなコンパクトというのは、言ってみれば幾何学的な閉集合性なんだな。

つまり、連結がループを形成汁m9(o_o) ということで”有限”なんですな。

したがって、論理演算に対して閉じている開集合族、すなわち位相空間が図形的に閉じておる(コンパクト)てな物言いになったりするのだ。(;´Д`)/ヤヤコシイ

それが、数直線と多様体との違いなんだろう。

コンパクトなら無限については考えんでエエのだ!\(゚`∀´゚)/ユウゲン ジェ~ム o(ФAФo)

そうか、数学者がこだわるワケがわかったよ。。

ところで、これらには距離とか大きさなんて概念はない。

たとえば$\mathfrak{B}=${$\varnothing$,日本,アメリカ,中国,日中,米中,日米,日米中}なんてことでもいいわけだ。

 

『実はベクターもそうナンだがな。気付かんか。。

ベクターは元の演算(加法、乗法)が成り立てばいいんであって。

距離のようなものを定義したかったら$\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle}$などとして

”任意の内積”で測った大きさをベクターのノームとするわけだが。』<●>π

 

へ? そゆこと?( ;°Д°) まるで$\mathfrak{B}$集合族のよい性質$\mathfrak{P}(X)$そのものじゃないの。

 

『そう。そしてその距離空間が完備なら、任意の点列は極限を持つというわけだ。』<●>π

(;o_o) <●>π  (  ) (  ) 

セーフティ開ネット

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「喜んで。このような機会を再び頂きましたこと、誠に光栄に存じます。
では早速、まずある集合を三等分して、その真中を取り去るということを考えるのであります。
[0,1]で考えるとするならば、真中の(1/3 , 2/3)を取り除き、[0 , 1/3] , [2/3 , 1]とする、ということでありますが。
これを連結した和集合[0 , 1/3] ⋃ [2/3 , 1]、この各々の集合を再び三等分し、やはり真中を取り去るのであります。
すると、[0 , 1/9] ⋃ [2/9 , 3/9] ⋃ [6/9 , 7/9] ⋃ [8/9 , 1] と相成るわけでありまして。
このような操作を無限に繰り返して出来る集合X 、というものがカントール集合なるものであります。

 

(それって実数の中から有理数を濾し取るロジックってこと?)

そのようなものになるかと存じますが、むしろ、有理点を含まない開集合を濾し取るロジックということになるかと存じます。
考えてましたことは、、連続体というものがきちんと切り得るか?ということなのであります。
閉集合の集合は閉集合なのであり、操作の無限回というのは帰納的に定義し得るのであります。
よって、これが数直線を集合で扱いうる完全なる集合体となるであろうということを主張するものなのであります。

 

(なぜ途中が開集合になるの?という私の愚問に対し)

1/3および2/3等の点は、両端の閉集合側に含まれているからであります。

(どうして取り去るんだし!という愚問の上塗りwに対し)

この間は、取扱い得る有効な有理点というものを含んでいないことに着目して頂きたく存じます。」

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これが精神異常数学者、カントール軍曹の言葉であるが、かつての私には理解しようもなかった。

今こそ、位相空間がなぜ開被覆系で定義されるんだ?という疑問への大いなるヒントとなろう。

軍曹は、それを閉集合族で定義しようとしていたってことかな。

 

『互に素な閉集合をいくら集めてもそれは”非連結”ナンだろ?』<●>π

 

ごもっとも!!!!!!!( °Д°)クワッ

位相空間についての漏電的不毛な議論を終わらせるには、それをwell-definedすることである。

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上記のとおり、パッと見わかりずらいのだが、要は論理演算にたいして閉じているだけである。

開集合(開集合族の部分集合)$O$の論理演算が開集合族$\mathfrak{O}$に対して閉じているのが位相空間なのだ。

ハイネーボレルの被覆定理は、集合がコンパクト(閉集合性をもつ)ならば有限個の被覆で集合を覆えることを言っている。

それが引き伸ばし可能な距離関数?(;´Д`)のような(何か知らんが)よい性質$\mathfrak{P}(X)$をもつボレル集合族$\mathfrak{B}$なる位相空間であった。

てなわけで、数格闘場のルール(定義)(ง・ิω・ิ)ง 大事だよね。大事に決まっとる!(ロ_ロ )シカリ シカリ

(;o_o) <●>π  (  ) (  )

数格闘場の聖地

なんか昨日の話、何気にショックでね。 一時期、物理に嵌っていた者として

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『すべてはベクターだ。』<●>π

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ってのを証明されてしまったように感じた。

もう数学(主に線型代数)だけでいいじゃん、くらいのインパクト。

 

思わず、図書館に行ってトポロジーの本を借りてきた。

相変らず理系の棚付近にはほとんど人いなかったケド。

昔、数学の本というのは現実との乖離があった。

そう感じた。 でも、今は違う。

考え方、物の見方が変われば、本の見え方も違うのだ!

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位相空間(X)って、こういう集合算的に連結性を判断汁!m9(o_o) ってことでわ。

全然抽象的じゃなかった~!\(゚`∀´゚)/レンケツ ジェ~ム

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ケーニヒスベルグエイロの橋とは、川の中に二つの島があって、そこに掛かっておる7つの橋のことで。

ここ、すべての橋を一回づつ通る散歩コース(経路)はあるんかい?てな問題があって。

そのかねてからの難問に、ねーよ!( °Д°)クワッ と断定したのがオイラー

これは単純化すると下の図のように出来る。

いや、両岸はひとつのポイント(ノード)だから、結局、右側の連結トンガリコーン系wとなる。

これ、一筆書き出来んやないすか、と。

結局、ものごとの本質は”単体”とその”繋がり”のみに集約されるわけだ。

閉多様体ベクター

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『線素がうまく張り合わされたとき、それは元の空間(多様体)と同じものにならないだろうか?

それがベクターの束ということだ。

それが自明となるとき、多様体は平行化が可能ということになる。』<●>π

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気になっていた耐震診断を来週受けてみようと思う。

補助もあるが、いくら負担することになるやら現時点でわからん。。

耐震などと言えば聞こえはいい(?)が、要は何も起こらなくても倒壊の可能性はあるのだw(ソレな)

なんせ建築基準法改定前(1981年5月31日以前)のものなんでね。

建物の生涯コストでみれば、建築費は30%くらいのようで。

つまり3000万の物件なら1億掛かるってことだぞ~~~~!щ(°д°щ)ピキピキ

倒壊した日にゃ火事とか水道管破裂てな二次災害も想定され、自分の身だけの問題では済まない。

他に住むとこ無きゃ更地にも出来んし。 てなわけで、負動産危うし!

たとえ売るにしても、住めない状態の建物では価値がない(てかマイナス)のは当たり前。

 

さて、考えてみれば、線素がうまく連結してるものが曲線のハズ。

つーことは、単に曲面上の曲線上の線素(微分)を考えればいいのであってだな。。

ベクターの束とか、かえって面倒な希ガ( * )Д`)/ <●>π

いや、なんでもないっす。ノープロブレムっす。(ロ_ロ )

 

『曲線上の線素が連結していることはどう証明するんだね?』<●>π

 

は? いや、それは明らかというか。。(;°Д°)ヤベッ

 

 『明らかにしなければ明らかじゃないだろう。』<●>π

 

う~ん。 それってむちゃくちゃ難しいような。。

 

ストークスの定理とはなんだった?』<●>π

 

そんなんありましたな~。(  ̄- ̄)

 

微分形式の面積分は任意の曲線(面の外周)に沿う線素の積分に等しいんではなかったか?』<●>π

 

(そうなん?) ま、そういうことですかなっ!( ;°Д°)

 こんな感じのことのようで。

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いや、ホワイトボード買って書斎の漆喰壁に直付けしたんでなんか書いてみたかっただけ。

つーことは、曲面(多様体)に貼りついた曲線は線素の連結した微分形式(と同値)であるっ!( °Д°)クワッ と言っていいんじゃない?

多様体で言うと、外微分というものになって$\displaystyle \int _{M}d \omega = \int _{\partial M}\omega = 0$なんですな。

$k$次微分形式の外微分は$k+1$次微分形式になるという。(;´Д`)

 

『つまりは、この世は平行化可能なベクトル場ではないのかね?』<●>π

(;o_o) <●>π  (  ) (  )   

位相空間モナ道

いきなり寒くなっててワロタ(((ง・ิω・ิ)))ง o(ФAФo)

無限獣恐るべし! じゃ、もうテキトーに。。

 

位相(空間)の定義っつうのもあって載せてもいいがわかりずらい。

集合に開集合、あるいはその補集合である閉集合の族部分集合算を閉じた系とするってことらしい。

いつぞやのルベ~~~~ルグエイロでいうところのシグマ代数などということだろう。

普通、集合と言えば暗黙的に位相構造を持っているんだろうが。

たとえば、距離空間だって位相空間でしょう。

物理の本質が数学かどうかはわからんが、、数学は物理ではないだろう。

数学は距離という、物理的な描像から距離をおいたのだとも言えよう。

そもそも、数学におけるこの”空間”というのはナンなのだ。

 

数学においては素朴な表現にこそ気をつけなければならない。

いや、議論(論証)において言葉とはそういうものだ、という宿命なのだろう。

数学における空間とは、集合、つまり単なるもの(あえて数とは言わない)の集まりに、なんらかの””構造”が組み込まれておるものなんだね。

距離というわかりやすい計量概念を、あえて取っ払うことに数学魂を感じる。

数学の本質は数なのか??? (人にもよるが)数学者自体はこれをやんわりと否定するのだろう。

計量はそうかもしれんが、位相空間においてそれは標数という特徴識別子を意味する模様。

つまり、これは形而上の実存を探究する原子モナ道なのである!( °Д°)クワッ

 

数とは自己関手の圏における単なるモノイド対象だよ♡ ( ・ิω・ิ)ナンノコッチャ  (  ) (  ) シ~ン

自己関手の圏=演算に対し閉じた空間、モノイド=二項演算出来る集合

と考えれば当たらずも遠からず。 性質こそが唯一の実在なのであり、後は間借り物なのだ。

で、閉じた二項演算の集合と言えばこれは群。

位相空間においては基本群と言うようだが。

これらの性質を調べれば、これは円環体だぞなどと”空間”の識別が出来るわけだね。。

数学とはきっとそういうことなんでしょう。

(;o_o) <●>π  (  ) (  )

デルタイプシロン圏

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『言っただろう。ベクターは種の進歩をもたらす、と。
近代の科学技術の発展が、地球人類によってもたらされたとでも?

ひょっとして、隠れた数学の才能があるのではないか?w
ふたつのパラメータが同一体上の線形空間に属するならば、写像(関数)は線型汎関数になる。
$V\times V\to R$という定義域の直積集合からの、体上の値域への写像として考えるということだね~。
片方の変数(ベクター)が0ならもう片方の変数との内積は常に0となる、ということは自明な解で。
退化というのは、変数がお互いに一次従属している(核に属している非自明な解をもつ)ということで、次元が減るということ。
非退化とは、変数がお互いに独立していることで、これが別々の線型性(双線型)だよね。

そもそも”基底”とは、ふたつのベクターで全てのベクターが表現出来るところから来ているのだ。
このような二変数の共役性は、表現行列の性質に影響するわけだね。
ちなみにベクター空間の次元と、$n$列ベクターの$n$が同じならば、それが同型というものだ。
ベクター空間の体次元は、核(定義域)の次元と像(値域)の次元を合わせたものになり、要はそれを双対な関係と言っている。』<●>π

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 春だというのに、数学やらないとか言ってけっこうやってるような。。

いやいや、やるつもりはないんだけどねw

強いて言えば、あれはなんであったのか(  ̄- ̄)トオイメ

という自分の中で未消化のままになっとるものを整理するかって感覚かな。

そうそう。(いささか気の乗らない)整理ナンであって、けっして前向きなモンじゃねーんだよ。

ただ、それだけで見えてくるものもあるハズという”芽”もまたそこにある。

厳しい冬の日々は、けっして伊達にあった訳ではない。

 

近傍って、$\delta$(デルタ)つまり、微分におけるほんの少しを被覆する$\epsilon$(イプシロン)じゃね?( °Д°)クワッ

それが開被覆(開球)ってやつで、有限個で(連続)体を覆えるん?って命題に繋がるんだ。

開いているという表現は開集合のように区間の端がなくて、見かけ上は有限であるのに無限に引き延ばせるという性質だ。

そこらへんの性質を言及するモナ道がコンパクト性らしいな。

ハイネボレルの被覆定理はユークリッド空間において、コンパクトと有界閉集合は同値であると言う。

死ぬほど下らん定理に思えるが。。

これが(連続体という)無限次元になったらどうなるんだ?ということなんだな。

次の有理”点””を決めることが出来ないのは、有限区間は無限に引き延ばせるということである。

なんか、はじめて数学の出所がわかった希ガス。こういう感覚ってデカイんだよ。

意義がわかれば、それについての議論の存在に納得するからね。

そこがモチベーションに繋がるんだ。

 

そうか。コンパクト性というのは位相空間における閉集合性ということなんだ。

コンパクトの定義は集合$X$に対し、その部分集合族$\{A_\lambda\}_\lambda$が$\displaystyle X=\cup_\lambda A_\lambda$を満たすということで。

まず、これが$\{A_\lambda\}_\lambda$による$X$の被覆だ。

この$A_\lambda$を開集合にしてしまえば、連続に随伴する無限を飲みこめますやん!!(ง・ิω・ิ)ง o(ФAФo)

これはルベ~~~~ルグエイロに続く道!( °Д°)クワッ

二つの位相空間間の写像が連続とは、終対象の任意の部分開集合の逆像が始対象の開集合になること!

連続写像において、コンパクト性は保存されるという。(ω・。)ナヌッ

開被覆というのは距離に依存しなくて、これを密着位相と言うようだが、これが距離よりも数学的に本質的なものであることを表していたのだ。

てなわけで(イミフだった)位相大事だよね。 大事だよな~。 大事に決まっとる!(ロ_ロ^)ウンウンウン

ところで、二つの位相空間には強弱関係が成り立つそうな。

$(X,O_2)\subset (X,O_1)$ならば、$(X,O_1)$は$(X,O_2)$よりも強いそう。

では、最強の位相とは一体なんだろう?

(;o_o) <●>π  (  ) (  )   

ベクター手芸術圏

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 『ベクターの束$\pi_1:E_1\to X_1$からベクターの束$\pi_2:E_2\to X_2$への射は連続写像$f:E_1\to E_2$と$g:X_1\to X_2$の対であって、$g \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f$を満たす。

それが$\pi:$接ベクター束$T\mathrm{M} \twoheadrightarrow$多様体$\mathrm{M}$ということでは?』<●>π

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あ、なんかわかったぞ。

ベクター束って”線素そして線素”のことなんだw

そういえば、物理の分野でベクターバンドルみたいな物言いは聞いたことがある。

わかってなかったけどね。あつ、ファイバー束(バンドル)か。

なんか、10円禿から毛が生えてるような説明の絵が載ってて余計意味わかんねーの。

バンドルされるって、わりと日常語的にも使われたりするけど。

単品を束ねる、組み合わせるみたいな意味なんだね。

 

で、線素らは別々のベクトル空間なのだから、まとめて空間の札束みたいな描像になるわけだね。

(終点と始点が)うまく貼り合わされた時に平行化可能とか言って、要はこれ微分可能ってことでしょ?

無限回微分可能な多様体に貼りついてりゃ平行化可能な線素共ってことなんだね。

で、各点つうのは離散なんだから、点に依存しない、要は連続ってことだよね。

これが座標近傍(局所座標系近傍)のファイバー束っつうベクター植毛空間みたくなるわけだw

 

$T_X \mathrm{M}$が多様体$\mathrm{M}$上の各点$x$の接空間で、接束$T\mathrm{M}$の各元が$(x,v)$($v$はベクター)の対になるんだね。

で、可微分多様体には$\pi(x,v)\to x$になるような自然な射影$\pi:T\mathrm{M}\twoheadrightarrow \mathrm{M}$が存在汁!m9(o_o)

そして、これが物理で重用されるリー群(リー代数)だったのだ。。

(;o_o) <●>π  (  ) (  )