ひまわり

ひまわり

人類モナドは自己満足の件における単なる自己満足の対象だよ。何か問題でも?( ・ิω・ิ)ナンノコッチャ  (  ) (  ) シ~ン

モナ道代数

リー群を取りまく状況は、数学の各分野を横断するような内容になっている。

それだけ相互的な理解や存在意義が深まりそうだが。

個々の辻褄はともかく、こういうものは、一網打尽的な視点が欲しくなったりもするんだろうね。

なんといっても、それにふさわしいのは圏論ですか。

下々としては、新たな分野が増えてるだけですやんという風にも感じるが(^^;

圏論はどうやら”道”の拡張版のようだ!( °Д°)クワッ

 

集合$\mathcal{O},\mathcal{M}$と写像$s,t:\mathcal{O}\to \mathcal{M}$が与えられたときに、組$\mathit{Q}=\{\mathcal{O},\mathcal{M},s,t\}$をえびらという。

$\mathcal{M}_n(\mathit{Q}):=\{(f_1,\cdots,f_n)\in \mathcal{M}^n | s(f_i)=t(f_{i+1})\}$と定義し、$\mathcal{M}_n(\mathit{Q})$の元を$\mathit{Q}$の長さ$n$の道という。

$s(f_i)=\nu_i\hspace{3pt},\hspace{3pt}t(f_1)=\nu_0$とするとき、道を$\nu_n\xrightarrow{f_n}\nu_{n-1}\xrightarrow{f_{n-1}}\cdots \nu_1\xrightarrow{f_{1}}\nu_0$と示す。

これが図式をなす”道”であった!!( °Д°)クワッ 「逝けばわかるさ」アントニオ猪木

ちなみに、箙とは矢(射)の入れ物であるという。 なるほどね。

ま、道の表現はわかったが、図式というのはこれが数学的に厳密な式である必要がある。

 

 $\mathcal{O}$は実は対象の集合。 $\mathcal{M}$は射の集合なのだ。

 $f \in \mathcal{M}$において、$s(f)$が$f$の始域で$t(f)$が終域。

道(箙)に合成関数 $\circ$ を加えたものを圏$\mathcal{C}$という。

写像$1:\mathcal{O}\to \mathcal{M}$が存在し、任意の$f \in \mathcal{M}$に対して$f \circ 1_{s(f)}=f=1_{t(f)}\circ f$(恒等射)

$Hom_\mathcal{C}(A,B)$は$A$から$B$への射の集合であり、$f \in Hom_\mathcal{C}(A,B):A\to B$

$Hom_{\mathcal{C}}(A,A)$は合成を積とし、$1_{A}$を単位元とするモノイド(自己満足の件)となる。

 

結局、なぜか去年と同じようなパターンに。

しかし、増えたのはツールであってそれを足掛かりに出来るかどうかはまた別問題である。

  

随伴行列内積単位群

行列$A$に対する$A^{T}A$をグラム行列いうらしい。

へ?(;´Д`) これ、行列$A$は列だけでもいいんですな。

つまり、ふたつの大きさの等しいベクター内積がつくる正方行列なんてことで。

なんかに使えそうと思ったら、計量テンソル$g$とかってグラムってことなんじゃ?

リー群$g$もそうだよね。

二変数のカーネル関数(の内積)がヒルベルト空間へのマッピング作用素になる、てなことですやね。

いやいや、これ$A$の内積なんだから、大きさのみならず全く同じものじゃない。

$A=A^{T}$は対称行列で、$A^{T}A$は直交行列でこれの複素数版がユニタリ行列だったな。。(;´Д`)ナニガナニヤラ

$A=A^{\dag}$はエルミート行列で、$A^{\dag}A$がユニタリ行列ってことだけど。

てなわけで、ユニタリ行列はグラム行列なんですな。

だからなんなの?ってのは$\|Ax\|^2 \geq 0$ってな性質があって、半正定値性などというんだね。

ということで、リー群の中身はどうやら複素数の(共役の)内積になるんすな。

ま、実際、量子力学はそんなことやってるハズなんだけど。

 

案の上、リー代数$[X_i,X_j]=if_{ijk}X_k$の$X$はエルミート行列で。

そのユニタリ行列であるグラム行列$g_{ij}:=(X_i,X_j)$をカルタン計量言うんですな。\(゚`∀´゚)/カルタン ジェ~ム

$A=a^iX_i\hspace{2pt},\hspace{2pt}B=b^iX_i$のときは$(A,B)=g_{ij}a^{i}b^{j}$と書ける(キリング形式)と。

なんとも、それらしい体裁になってきたデ!( °Д°)クワッ

そうか、これが関数値$\phi$の積分ならルベーグ積分になるんだ。

まさに完備なヒルベルト空間で、複素平面、リーマン球面、開円板は共形同値であるという。

これが一意化定理というもので、”地図帳”の根拠になっていたもんなんですな。

リー(群論)、多様体(位相)、ヒルベルト空間(線型代数)、複素関数論がひとつに繋がってきた。

 

ちなみに、キリング形式がなぜあるかっていうのは、リー代数線形空間への変換なんだね。

リー代数線型空間への表現は$\pi:\mathfrak{g}\to \mathfrak{gl}(V)$であり、核が自明なら忠実であるという。

つまり単射$\hookrightarrow$の双対関係になる。

この対応を随伴と言って、$ad(x)(y)=[x,y]$で与えられる。

かくして、各リー・エルミート行列の固有値ベクター$H|x\rangle = \lambda | x \rangle$という、量子力学的表現になる。

 

(oФAФ)oΨಠﭛಠ<◎> (o_o;)ノ゙ <●>π  (  ) (  )  

バベルのリーマン塔

熱中症対策に塩コンニャクゼリー(レモン、梅)なるものを買っておいたが、これがクセになって困る。

さて、なんでもいいからリーマン面をプロットしたところ。( ・༥・)モグモグ

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もうちょっと見栄えはなんとかなるんだろうが、まぁええ。

要は一周したら別の(リーマン)面に移るということですな。

但し、これはあくまで非コンパクトな複素平面が束になっとるだけである。

もうちょっとうまく高次に対応出来んものか?

ちなみに、ある境界上の関数の内側が調和するような関数を求めるのがディレクレ問題で、リーマンによって命名されたそうな。

ディレクレは$\displaystyle \int_{\omega}|\nabla \nu |^2$(ディリクレ積分)を最小とするものを見つけることで調和関数を発見する手法を編み出していたという。

この$\nu$ってのは、$f(x+iy)=\mu(x,y)+i \nu(x,y)$の虚部の実関数ということだろう。

いわゆるコーシー・リーマンの関係式から、自然と調和関数$\mu$が導かれるってことかな。

なるほど、うっすらわかる希ガス

 

調和関数と言えば $\Delta f=0$、つまり2回微分の和が0になるという、ラプラス校長和関数である。<◎>

それは関数$y=f(x)$上の任意の点$A=(a,f(a))$と$B=(b,f(b))$を結ぶ直線が関数曲線と重なるような滑らかな関数であるということで、それが”宇宙大調和”の由来!!( °Д°)クワッ

ちな、$f^{\prime \prime}(x)\le 0$なら上に凸、$f^{\prime \prime}(x)\ge 0$なら下に凸の関数波形になるんすな。

簡単に言えば、この$f$の中身なんだよ?ってことで。

未知関数ということで、変分的な二変数の展開形でかけば、$\displaystyle \bigg( \frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\bigg) \phi(x,y)=0$

さらに境界条件として、

$\phi(x,0)=\phi_1 \hspace{3pt} , \hspace{3pt}\phi(x,a)=\phi_2$を満たす$\phi$ を教えろ下さいてなことで、これわイヤですぅ。(^^;

 

リーマンは球面調和関数に、無限遠点を加えた複素拡張平面$\hat{\mathbb{C}}$からの写像を考え、それをリーマン球面と名付けたそうな。。

これで$f(z)=a$のまわりで$a$を極というのが自然な感じになる。

ちな、領域$\Omega$内の任意のジョルダン曲線$C$が常に$(C)\subset \Omega$のとき、$\Omega$は単連結なんですと。

ジョルダン曲線とは自分自身と交わらない曲線ということで、ループといってもいいねっ!( °Д°)クワッ

その複体がリーマン多様体で、複素平面ヒルベルト空間)との$C^{\infty}$対応をもつのか。

イカンジだっ!( °Д°)クワッ $\Rightarrow$ やりたいとか言ってない。

言葉の綾、無限獣はガウスの弟子地球人類の天才リーマンによって克服されたのか。

 

(oФAФ)oΨಠﭛಠ<◎> (o_o;)ノ゙ <●>π  (  ) (  )    

テルエンパシー元

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『天使(angel)というものはアングル(angle)だ。

つまりは(ディクロニウスベクターにおける角度なのさ。

それが占星術ホロスコープ)にも反映されてるわけじゃないか。』<●>π --------------------------------------------

岩に描かれている古代文字は、プロビデンスの目、そしてルートベクターだろうな。

我々は、やっと超古代の地球人類に追いついたのだ。

ルートベクターとは、複素数体上の有限リー代数がルート分解なる直和分解出来ることに由来する。

ディンキン図形のノードを繋ぐ線は、この二つの生成ベクターの鏡映のなす角度を表現していたのだ。

二つのコクセター群の生成ベクターはホッジ双対$\star$なのか?(ง・ิω・ิ)ง

エッシャーの描く絵画の多くが、天文学者コクセターの鏡映の敷き詰めだったという。

 

カルダノもケプラー占星術師という側面を持っていた。

ホロスコープでは、星座の境目とハウスの境目がカスプと呼ばれている。

これはカタストロフィー(破局)理論でいう破局の生じる折り目のことである。

カタストロフィーは位相的な不連続である。

つまり、運命がそれを境に変わると考えれば辻褄が合う。

そして、それは天球上の星々の相対角度のみに完全に依存しているのだ。

複素関数幾何学的に表すには$z$と$\omega$という二つの面が必要なようで。

これは意識してなかったけど$\omega=f(z)$ということで、定義域の軌道面と値域の軌道面てことか。

で、リーマン面というのは多価関数というもので出て来た概念で。

2周ではなく2枚の面であると考えることによって、$z$面と$\omega$面に一対一対応(一価)がつくんだね。

そして、複素関数$f$により等角写像になてーるよ~\(゚`∀´゚)/トウカク ジェ~ム

これは正則関数は等角写像、つまり図形の角度を保つ写像であるということナンだな。

(逆に言えば、等角写像になっとらん地図は正式なリーマン面になっとらんということ。)

で、ホロスコープとは(星の)楕円軌道の天球への等角写像である。

つまり、ホロスコープの全相対軌道($ga$という群作用直積集合)は保存されておる情報と言えよう。

ちなみに、真の占いとはパーソナル(一意的)な(アカシック)レコード部分リーディングであって、いわゆる12宮群別の十把一絡げの占いなどというのは、本来有り得ない。

 

穴空きぃ in the UK

リーマン面とは、一言で言えば一次元の複素多様体を指してて、これが基礎になるようだが。。

ひとつのリーマン面が”連結しとる”単位ってことの模様。

イメージとしては複素平面なんだが、違いはこれを何次元にでも拡張出来ることなんだろうな。

複素平面をクルクルと巻いて平面上の両端の無限遠点を合わせれば、これは筒になる。

スミスチャートの発想もそういうことなんだろうけど。

この筒の両側を合わせれば、これはトーラスになる。 つまり実体は同じものだ。

これ、どっかでやったな。ほとんど覚えてないけど。

でも、今なら穴が二つあるものはリーマン面がふたつあると見做せる、と解釈出来る。。

ま、わかったような、わからんような。。

 

単連結というのは穴がないってことなんだね。

だから、穴あき平面てのは連結だが単連結でないという扱いになるようだ。(;´Д`)/ヤヤコシイ

そういえば、経理の世界でも会社”単体”の決算とグループ(群)の”連結”決算てな概念がある!

リーマン面のメリットは正則関数が定義出来ることである。

つまり、ある位相をもつ類体の振る舞いを調べられるということなんだな。

類体というのは実態はわからんが、位相同相な多様な体という意味で自然に出て来たのだが。

リーマン面はそもそも、いわゆる多価関数という複素関数(論)で目にしたものだ。

それは解軌道の輪っかが切れていて、一周したら別のリーマン面に移るというものだったように思うが。

リーマン面とは座標近傍系を与えられたハウスドルフ空間$(\mathcal{S},\mathcal{A})$ ( ・ิω・ิ)ナンノコッチャ  (  ) (  ) シ~ン

つまり、座標近傍系=被覆だから$\mathcal{S}$は”被覆空間”であって、それが普遍被覆ってやつか。

$U$(ユニタリ群)は被覆空間であり、それが均一な被覆ならば$SU(n)\times R$なんて空間が考えれて、(基)底空間$SU$への被覆写像$p:U\to SU$が単体の群(?)なのかな?なんてイメージは持てる。

 

リーマン面の分類は、モジュライ空間またはタイヒミュラー空間として分類出来るという。(◎ο◎;)

複素数はなんといっても虚数つきの数であるが。

これが数学界に認められたのは、カルダノが三次方程式の解の公式を明らかにしたものによるようだ。

認めたくはないが、数学界で無視出来ん存在に踊り出たというのが真相のようだ。

なんといっても、それは二次方程式の解の公式発見から何千年も経っていたのだから。

 

無限遠コンパクト

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内積空間とは、”実数”$R$を定義域とした対称双線型ベクター写像$\langle g,f \rangle$があると言っているのだよ。

モナド(・関手)はベクターだ。

線素がうまく張り合わされたとき、それは元の空間(多様体)と同じものにならないだろうか?

それがベクターの束ということだ。

それが自明となるとき、多様体は平行化が可能ということになる。

ベクターの束$\pi_1:E_1\to X_1$からベクターの束$\pi_2:E_2\to X_2$への射は連続写像$f:E_1\to E_2$と$g:X_1\to X_2$の対であって、$g \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f$を満たす。

それが$\pi:$接ベクター束TM$\twoheadrightarrow$多様体Mということでは?

つまりは、この世は平行化可能なベクトル場ではないのかね?』<●>π

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ポアンカレー群(基本群)は10次元のコンパクトリー群だそう。( ・ิω・ิ)ナンノコッチャ  (  ) (  ) シ~ン

さては、これを曲解した地球人類物理学会の大馬鹿者共が大量に沸いたんでわ。

群をナスなら、それはルーピーな輪っか構造をもっているハズでしょーがっ!( °Д°)クワッ

そもそも線形写像全単射だから群をナスってことだったよね?

なぜ単調増加が群を焼ナスなどと言えるのだ!( °Д°)クワッ (目の前で言ってみてね。。<●>π)

全単射が逆元の存在を保証汁ってのはわかるが、、(눈_눈)

無限を集合の元としてしまうのは反則のような肝。

「数学的実体として無限大を扱うなら、もはや言葉の綾では済まないことになりますが。」アナウンサー

「(ルートが)出る前から(無限大を)巻けることを考える馬鹿がいるかよっ!」アントニオ・ガウス

 

そういえば、電気屋(電子屋というべきか)の使うスミス・チャートとかってあるよね?

あれ、円の縁が無限大ってことだったと思うけど。

無限大を有限に丸め込むのって、原理的にというか概念的に出来ちゃうんじゃない?

てか、それこそがコンパクトの心かっ!( °Д°)クワッ

位相空間$X$のコンパクト位相空間$K$への写像 $i:X\to K$を稠密ちゅうみつな埋め込み言うそうな。

そうか、位相空間上の無限連続写像でワンクッションかませばいいというわけかね?(ω・。)クルッ

ループ曲線とは接直線の無限和である。 といったところであろうか。

(埋め込まれた)付け加えられた点$K\backslash i(X)$は無限大の彼方にあると見做せ、いつしか”無限遠点”などと言われるようになったという。

ちな、$\backslash$は体の拡大を意味するようで、そこらへんからやった方がいいんでしょうね。

そもそも群論は、ガロアが方程式の解を求める手段として編み出したもので、群論をやるにはガロア理論が王道というか、ひとつの到達点ナンでしょう。(ガチでやるならですが。)

解がわからないから面白いのさ。\(゚`∀´゚)/ガロア ジェ~ム ってな粋なセンスをもちませんと。( ̄ー ̄;)

ま、とにかく数格闘技の暗黙の領域場はラプラス校長<◎>の庭であることが確定。m9(o_o)

 

位相空間は、なぜ開集合系の定義に閣議決定したのだろうか。

それは集合の元が非可算個のものもある、ということにあるように思われる。

それが無限獣の対象(大将)バールの空間であるというライセンス契約を意味しておるのか。。Ψಠﭛಠ

任意の位相的完備空間(ハウスドルフ空間)はバール空間である。

したがって多様体はバール空間なのである。

少し前にロンドンなど各所で関係者(?)によるバール神殿のアーチ建設という動きがあったが。

ISIS(という劇団員)が破壊した神殿を(空爆NATO軍として)建てようっていうシナリオだったのか。

イルミナティが崇めている主神がバールだと言う。 そういや黒い影が入っていったりもしてたな。。

地球人類への影響は何とも言えんが、(正邪問わず)我々神界の大馬鹿者共の東宝怪獣祀りは必至!

(この世のすべては心霊現象である。)

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ピラミッド台上のプロビデンスの目。 アカンやつや。。

これが来たるディクロニウス文明の序章に過ぎないことを、地球人類は知る由もないのであった。

(oФAФ)oΨಠﭛಠ<◎> (o_o;)ノ゙ <●>π  (  ) (  )   

普遍被覆束多様体

ユニタリ群$U(n)$(複素直交行列)は普遍被覆$SU(n)\times R$を持つという。。(눈_눈;)

普遍被覆ってなんじゃい!!( °Д°)クワッ

任意のユニタリー行列には、微分の一般解$U=e^{iH}$が成り立つようなエルミート行列が存在するってのは、この前やったけどね。

$SU$は行列式が1となる特殊ユニタリ群$det(U)=1$だが、この関係性はいかにも重要だろうな。。

$det(U)=1$より、エルミート行列トレース$Tr(H)=0$になるみたいなんだけど。(;´Д`)ナンダト???

 

こういう時こそ、昨日のポアンカレー群こと基本群というトポロジカルな思考が役立つんですな。

夏野菜カレーみたくなってますが。

普遍被覆ってのは局所近傍(被覆空間)系で多様体$\mathrm{M}$をマルっと覆った全体$\tilde{M}$を指す模様。(`・ω・´)ゞ

$\mathrm{M}$の基本群のループは、$\tilde{M}$の被覆変換というものに一対一対応するという。

今更だがホモトピックとは、そもそもどういう基準で言うんだ?というのを明確にしてなかった。

直感的には、同じ基点まわりの別ループということだが、なんせポアンカレー様代数系

 

連続写像(関数)$H:[0,1]\times [0,1] \to X$が、$X$内のふたつの道$C_a,C_b$に対して、

$H(0,t)=C_a(t)$かつ$H(1,t)=C_b(t)$であるときに、写像$H$を$C_a,C_b$の間のホモトピーと言い、$C_a \simeq C_b$という表現になる、ということですな。

ループは基本群の単位元だったので、その数(穴の数)が位相不変量となり分類出来ると。

ひょっとして、環(群)という代数系幾何学的にループと等価なのかね? どっちも輪ですからな。

じゃ、多角形なんて変形すりゃ全部円なんだから意味ないじゃん!\(゚`∀´゚)/ガチホモ ジェ~ム

アレ? 三角形の内角の和は$\pi$。で、四角形は$2\pi$になっておる?

これは多角形が、線形分離によって三角$\pi$道の$K$基本群をナスことを示しておるのだっ!( °Д°)クワッ

基本群$\pi(X)$の$\pi$は単なる象形ではなかったっ!! さすがポアンカレー先生でございやす。(ロ_ロ )

トポロジーとは、テキトーな変形でお$K$と思っていた時期が僕にもありました。。

頂点(ノード)には何かが宿るということですかなっ。

分類的には、点$\nu_0$を0単体とすると、線$|\nu_0\nu_1|$が1単体、三角形が$|\nu_0\nu_1\nu_2|$の2単体ということで、多面体は頂点の数$-1$の単体集合$K$(辺単体)であり、それが複体をナス!( °Д°)クワッ とな。

位相空間論を、開集合によるwell-defined収束させたのは、場外環アウトという逃げ決着だったか。( -_-)

それは情報量単純化という、ガチ数格闘術サーバサイダーたる主催モチベーションの違い!( °Д°)クワッ

 

あ、なんとなく見えてきた気がするんだけど。

ユニタリ群は、被覆である特殊ユニタリ群の単連結であるってなこと言ってるんじゃない?

要するに特殊ユニタリ群は、ユニタリ群の単体の群(?)になってて。

$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$ってのは、複体の群であるっていうことかな~。

ちな、ホッジ理論はリーマン面$X$の種数(穴の数)が、$X$上の正則1形式がなす空間$(C-)$次元と一致することを主張しておる模様。

やってやるぜホッジの野郎。(ง・ิω・ิ)ง

「だからホッジと殴り合うほど馬鹿じゃないとあれほど。」ルー・テーズ

(;o_o) <●>π  (  ) (  )