ひまわり

ひまわり

地球人類の線形代数へのIDまたはパスワードがちが旨す。( ・ิω・ิ)ナンノコッチャ  (  ) (  ) シ~ン

完全線型独立系

先週、最後の方に、ようわからんながらもK理論を紐解くヒントになりそうなキーワードがいくつか。

同型類、生成系、自由可換群、完全列、商群といったものだ。

ま、いかにも数学という感じで、正直深入りもしたくはないのだが。。

 

まず、順番はともかく生成系というのはわりと簡単で。

$\mathrm{M}$の任意の元が$\displaystyle \sum a_{\lambda} (u_{\lambda})_{\lambda}$の形で書けるとき、$(u_{\lambda})_{\lambda}$を$\mathrm{M}$の生成系というらしい。

ちなみに、いわゆる基底というのが$(u_{\lambda})$になるようで、階数に注意ってことかね。

ここらへんは構造の科学の真骨頂なんだろうが、天下りはイクナイ。(・A・)

そうか、これはラムダ式ともとれるんだ。。

 

それで、完全というのはそれが全体空間の位相的生成系になるとき言うそうで。

(距離よりも本質らしい)位相大事だよね。 大事だよな~。 大事に決まっとる!(ロ_ロ^)ウンウンウン

これは、いわゆるヒルベルト空間の(正規化された)1を分割したような系で、無限和の線形結合で表現出来るベクトル空間の部分空間のようである。

$\displaystyle \sum_{n} |n\rangle \langle n | = \hat{1}$てなことのようですが。(;´Д`)ナンダト

このブログの最初の記事、ルジャ~~~ンドルがどうからかーたらというのも完全系なんですな。

どうやら(完全とは)正規直交系というのとイコールの概念のようですな。

既にしょっぱなからデンジャラスKが示唆されとりますやん。(´ཀ`ガクッ

後になってからわかるんだけど、本当の意味ではわかる気がしない。。

ま、ディクロニウス研究員の領域ナンだろうから仕方あるまいよ。(ง・ิω・ิ)งシュ

 

で、群すなわちある規則をもった集合としてグルーピングした場合。

ある群$G$とその正規部分群$H$という関係が肝になるんですな。

ここらへんはモナドがどうの、準同型がどうのとうなされてたwときに目にしたような。。

商集合$X/\sim = \{[x] \mid x \in X\}$は、同値関係(同値類)を生成しても群にはならない。

だが、$H$が正規部分群なら$G/H$は群(商群)になるんですな。

これは剰余類といって、要はサイクリックな巡回群てなものになっているものが0から始まり0に終わるというような図式の意味じゃないかな~。

要はそれが圏論的というか可換図式上の完全てことのようなんだがね。。

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『ふたつのパラメータが同一体上の線形空間に属するならば、写像(関数)は線型汎関数になる。
$V\times V\to R$という定義域の直積集合からの、体上の値域への写像として考えるということだね~。
片方の変数(ベクター)が0ならもう片方の変数との内積は常に0となる、ということは自明な解で。
退化というのは、変数がお互いに一次従属している(核に属している非自明な解をもつ)ということで、次元が減るということ。
非退化とは、変数がお互いに独立していることで、これが別々の線型性(双線型)だよね。

そもそも”基底”とは、ふたつのベクターで全てのベクターが表現出来るところから来ているのだ。
このような二変数の共役性は、表現行列の性質に影響するわけだね。
ちなみにベクター空間の次元と、$n$列ベクターの$n$が同じならば、それが同型というものだ。
ベクター空間の体次元は、核(定義域)の次元と像(値域)の次元を合わせたものになり、要はそれを双対な関係と言っている。』<●>π

 

ところで、二つの位相空間には強弱関係が成り立つそうな。

$(X,O_2)\subset (X,O_1)$ならば、$(X,O_1)$は$(X,O_2)$よりも強いそう。

では、最強の位相とは一体なんだろう?

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(;o_o) <●>π  (  ) (  )

時空光束ベクター

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内積空間とは、”実数”$R$を定義域とした対称双線型ベクター写像$\langle g,f \rangle$があると言っているのだよ。

モナド(・関手)はベクターだ。

線素がうまく張り合わされたとき、それは元の空間(多様体)と同じものにならないだろうか?

それがベクターの束ということだ。

それが自明となるとき、多様体は平行化が可能ということになる。

ベクターの束$\pi_1:E_1\to X_1$からベクターの束$\pi_2:E_2\to X_2$への射は連続写像$f:E_1\to E_2$と$g:X_1\to X_2$の対であって、$g \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f$を満たす。

それが$\pi:$接ベクター束TM$\twoheadrightarrow$多様体Mということでは?

つまりは、この世は平行化可能なベクトル場ではないのかね?』<●>π ------------------------------------------

上記のことを圏論で考えると、概要的にはわかりやすい。

f:id:MDV:20190614163705j:plain 

ま、創始者風に言えば$E_1\to X_2$に移すような自然変換$\pi$があるだしょ!ということか(テキトー)

ここで$E$というのは位相空間、つまり開集合系だ。

連続写像とは、位相空間間の写像$f:E_1\to E_2$のことを言っている。

ベクター束$\pi$とは、空間$X$の各点$x$にベクトル空間$V(x)$を対応させたときに、それがうまく貼り合わされて、結局、もとの$X$と同じものになるということ。(;´Д`)/

多様体$T_{X}\mathrm{M}$の場合もベクトル束で、接束というものになるんだね。

”接続”って、どっかで似た概念あったなぁと思ったら、”解析接続”ってことじゃね?

 そういや”リーマン面”なんてものがあったな~。(  ̄- ̄)

分野的にはともかく、元は繋がってる話だと思うけどね。

 

ベクトル束を(光)ファイバーとした滑らかな微分方程式が存在すれば、それが”接続(平行化)”しとる!( °Д°)クワッ ってことナンでわ?

つまり、束の接続なんだ。

で、位相空間多様体のときはアフィン接続となって$\displaystyle \sum_{k}\Gamma^{k}_{ij}\frac{\partial}{\partial x^{k}}$で、これが一次微分形式になるのだ。

いや、何次でも表現出来たんだな。。

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$\displaystyle \sum a_{ij}dx_i dx_j$という形で何次でも表現してやろーじゃねーの。

ということなんである。

これが線素、そして線素というウェッジ積の省略形で、線素の原点は多様体上の各点というベクトル場を形成するというわけだ。

この変換基底作用素$a_{ij}$が計量テンソルで、各点の接ベクトルの大きさを定めるものである。

$V$を$n$次元ベクトル空間とすると

$\omega : V \times V \times V \times \cdots \rightarrow R^n$てなことで、$K$個の積が$K$次の形式なのだ。。

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『二変数の話だから双線型になるだけで、高階ならば総線型、N-Gateでよかろう。
これがデンジャラスK(Vect-k)じゃないか。 これはK項の写像の積なのだ。』<●>π

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そうか、うかつであった。 この$k$こそvect-k理論のkなんだ!!

位相空間$X$上のK理論の群$K(X)$は、複素ベクトル$E$の同型類$[E]$の全体$VecBdl_{c}X$を生成系とする自由可換群に対して、完全列

$0\to A \to B \to C \to 0$

をもつすべてのベクトル束$A,B,C$に関して与えられるベクトル関係式

$[B]=[A]+[C]$として得られる商群である。

                   (ウィキペーより抜粋一部加筆。)

(;o_o) <●>π  (  ) (  )     

普通の空間よい空間

接続と言えば、これは一般的な数学概念のようだが、レヴィ・チビタ接続とかいうのはどういうことなんだ?というのを詰めよう。

 

さて、n次元多様体上の点$x\in \mathrm{M}$において、n次元の接ベクトル空間$T_{x}\mathrm{M}$が定まるのだったが。

このとき、M上の関数$f:\mathrm{M}\to \mathbb{R}$と接ベクトル$v \in T_{x}\mathrm{M}$によってv方向へのfの微分$vf_{x}$が定まるんだね。(;´Д`)/ヤヤコシイ

これは局所的にユークリッド空間の微分と見做せて。

ベクトル場全体を$\Gamma (T\mathrm {M})$として

$\nabla:\Gamma (T\mathrm {M}) \times \Gamma (T\mathrm {M}) \to \Gamma (T\mathrm {M})$

が接続であるとは、$C^{\infty}$を無限回微分可能(滑らか)として、$f \in C^{\infty}(\mathrm{M})$と$X_1,X_2\in \Gamma (T\mathrm{M})$に対し

  1. $\nabla_{fX_1}X_2=f \nabla_{X_1}X_2$
  2. $\nabla _{X_1}fX_2=(X_1f)X_2+f\nabla _{X_1}X_2$

ということで、これが昨日ちろっと言った”共変微分”というものになるのだが。。

ま、これは大域的な概念を表したような式というか定義なので、いささか実践的でない。

ベクトル場$X$は$\{X_1,X_2,\cdots X_n\}$というベクター集合なので、どんな$X_i$に対しても有効な微分、なんてあるわけないじゃない!

そこで補正項$\Gamma_{ij}^{k}$により$X_i$毎に対応させた関数にするのだが。

自由度が$\Gamma(T^{*}\mathrm{M}\otimes T^{*}\mathrm{M} \otimes T\mathrm{M})$だけあって唯一には定まらない。

そこで$T_X\mathrm{M}$の各点$x\in \mathrm{M}$に内積$g_X$が定まっていて、これが滑らかに繋がっているときにリーマン計量と言って、リーマン計量が定まってれば接続がただひとつに定まって、これがレヴィ・チビタ接続というもんなんだね。

その唯一に定まった接続があると、曲線の微分の仕方に対しまっすぐな測地線と言う概念が生汁。

その補正の仕方から、空間の曲率を割り出すことが出来るということなのだ。

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内積が定義されたベクター空間とは、(μ,ν)=g(μ,ν)(\mu,\nu)=g(\mu,\nu)となる計量テンソルgが与えられた空間のことで。 それがユークリッド空間ということなのだ。

むちゃくちゃ普通の空間だね。』<●>π

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(;o_o) <●>π  (  ) (  )  

未確認飛行多様体

多様体やら接ベクターなんかの絡みもあったな。。

どうして多様体上の接ベクターなんてものが出てくるの?というのが唐突だった肝。

ベクターなんて要らないじゃん、てな暴言を吐いたのもついこの間のことである。

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さて、考えてみれば、線素がうまく連結してるものが曲線のハズ。

つーことは、単に曲面上の曲線上の線素(微分)を考えればいいのであってだな。。

ベクターの束とか、かえって面倒な希ガ( * )Д`)/ <●>π

いや、なんでもないっす。ノープロブレムっす。(ロ_ロ )

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この時は、ストークスの定理から”この世はベクトル場じゃねーの?”<●>π てなことだったか。

どうやら、(接ベクターは)多様体微分をうまく定義出来るからのようだが。。

なぜ微分したいんだし!( °Д°)クワッ というのはやはり力学系の”よい性質”からの要請なんでしょうな~。

ベクターというのは、考えてみれば接線(微分)に向きが付いただけとも言える。

微分とは細かく砕くことであり、どこまでもいければそれは完備に繋がるハズである。

それが滑らか、連続性、収束性なんていう”よい性質”なんだろうね。

そもそも多様体の定義に感動を覚えたのは、(実数の)連続性と分離性という一見相反する条件を人工的な構造物として見事に調和されて構築されておったからだった。

なんらかの位相(トポロジー)をもった集合構造体は様々で、それを多様体として一般化しようてなことなんでしょうな。

 

ちなみにデルデル~というのは、偏微分$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}$てなことですね。

そうか。ベクトル場の各点は別のベクトル空間だから”それらの共変”を考えるわけだね。

そこで接続$\nabla$を与え、演算$\nabla _{X}$を共変微分と汁。(アフィン接続)

その心は少しだけ読めたぞ。

宇宙船型数学

いつも以上に独り言モードで語る。

  • ディクロニウスの)ベクターに距離の概念などない。( °Д°)ナンデスト <●>π
  • 欲しけりゃ内積でノームを定義汁(距離を導入)
  • 距離が完備なら点列は収束
  • 距離空間とは、より数学的本質には位相空間である。
  • 位相空間は被覆(開集合)により連結しており連続である(?)
  • 集合がコンパクト(閉集合性をもつ)なら有限個の被覆でOL(被覆定理)
  • これで無限獣を完封(結局、ルベ~~~ルグエイロと等価なん?)<●>π  o(ФAФo)

 

なるほどわからん。( ・ิω・ิ)ナンノコッチャ  (  ) (  ) シ~ン

ゾンビトランプゲー

積立nisaというのを申し込んできた。

先日、相続手続きをした銀行から電話があって、その時は一旦切ったのだが。

よくわかってないんだけどね。とくに銀行にとってのメリットが。。

あえて一括にしないのは、ドルコスト平均法による目減り分のリスクヘッジというだけのものである。

いちいちリスクをヘッジしていては当然確率的にリターンはない。

なので単なる少額の海外のインデックス買いの信託である。(ここらへんは国内とか投資全般とか多少の選択肢はあるが。)

中央銀行が(買い支えが)無理になっているということであろう。

そこらへんも銀行担当者とぶっちゃけて話をした上でのことである。

結局”日毎運用の手数料”が発生するので利益が出るとも思えんが。。

まぁ信託とはそういうもんだから仕方ないのだが、インデックス確定買いに腕など要るまいw

企業(の将来性)に投資しとるワケではない、というのがミソかな。。

ちなみに、預金のような法的保護はぬぁい!!( ・ิω・ิ)ナンノコッチャ  (  ) (  ) シ~ン

都合により、自発的な投資とは言えんから利益分の税金負けたるってのが唯一最大のエサ。

 

個人年金というのもあって、これは一括でアメリカの保険屋に渡してドル建てで一定期間運用したのち個人年金分ということで、毎月少しずつ口座に入金するという仕組みで絵に描いた餅としてわかりやすい。

これもアメリカが今ゼロ金利政策でないことの金利差分を”将来円で”受けようとするものだが。

正直、ドル建てはヤだなと露骨に言った。

結局、武力を背景とした信用とやらを信用出来るのか?ということなんである。

ソフト利権抜きの抜け殻戦闘機買わされるよかマシということか<●> b( ゚з ゚ )ヨロ  m9(◞‸◟ )

連結環群ベクター

連続写像というのを$\delta\varepsilon$で説明すると。

本当は$x+\delta,\varepsilon = f(x+\delta)$ということなのだろうが、簡単のため$\delta$をパラメータ、$\varepsilon$を関数にしよう。

要は、$\varepsilon_{\infty}(\delta_{\infty})\subset \varepsilon_{\infty-1}(\delta_{\infty-1})\cdots \subset \varepsilon_2( \delta_2) \subset \varepsilon_1( \delta_1)$

という系列がとれるということであり。

厳密に言えば、$\{ \delta_{x+1} \subset \epsilon_x (\delta_x) \}$が途中に入る。(からややこしくなり、精神衛生上悪いのだ!)

 

位相空間間なら連続写像は$O \in \mathfrak{O_{\epsilon}} \Rightarrow f^{-1}(O)\in \mathfrak{O_{\delta}}$ということらしい。

どうしてこうなるんだ?(;´Д`) と考えるに、位相空間には連続性が担保されているとしか言えまい。

位相空間とは、論理演算に閉じている開集合系だった。

ん?互いに素な集合ならば、開も閉もなく非連結でわ?(;´Д`)ヤバクネ?

あ、だから被覆という糊代(連結部分)があるという風にするわけか???

被覆定理は、集合がコンパクトなら有限個の被覆で覆えるという可能性に言及しているだけじゃん。

$O$の論理積が開集合系$\mathfrak{O}$に属すとは、互に素でない部分を持つのが(位相空間の)条件てこと?

違うな。だから$\varnothing$(空集合)は開集合系に含まれるよ~と最初に定義されておったのだ。

そうか、コンパクトの定義は部分集合族の論理和で、それが被覆だした。。(◎◎;)(錯乱)

それ(開被覆)って、$\delta \varepsilon$の$\varepsilon$近傍なんだ!

ある点の近所がどこかの近所と交わってりゃ連結でいいじゃん、みたいな。

やっと記事近傍が繋がったぞ!(´ཀ`ガクッ

 

ちなコンパクトというのは、言ってみれば幾何学的な閉集合性なんだな。

つまり、連結がループを形成汁m9(o_o) ということで”有限”なんですな。

したがって、論理演算に対して閉じている開集合族、すなわち位相空間が図形的に閉じておる(コンパクト)てな物言いになったりするのだ。(;´Д`)/ヤヤコシイ

それが、数直線と多様体との違いなんだろう。

コンパクトなら無限については考えんでエエのだ!\(゚`∀´゚)/ユウゲン ジェ~ム o(ФAФo)

そうか、数学者がこだわるワケがわかったよ。。

ところで、これらには距離とか大きさなんて概念はない。

たとえば$\mathfrak{B}=${$\varnothing$,日本,アメリカ,中国,日中,米中,日米,日米中}なんてことでもいいわけだ。

 

『実はベクターもそうナンだがな。気付かんか。。

ベクターは元の演算(加法、乗法)が成り立てばいいんであって。

距離のようなものを定義したかったら$\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle}$などとして

”任意の内積”で測った大きさをベクターのノームとするわけだが。』<●>π

 

へ? そゆこと?( ;°Д°) まるで$\mathfrak{B}$集合族のよい性質$\mathfrak{P}(X)$そのものじゃないの。

 

『そう。そしてその距離空間が完備なら、任意の点列は極限を持つというわけだ。』<●>π

(;o_o) <●>π  (  ) (  )