回転単位複素行列？

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 『複素（共役）数をあらわす行列は$\begin{pmatrix} x  & -y \\ y & x \end{pmatrix}$ で表現出来るわけだが。
宇宙にはまだまだ秘密があるってことさ。』 ＜●＞π
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$e^{i\theta}$の単位複素数を求めるに際し、まず複素数$z=a+ib$の基底を考えねばならん。( -_-)

これを実部と虚数の係数単位とすると、$e=\{1,i\}$なんてことになりそうだが。(｀-д-´)y-~~

これを$a+ib$に掛けると$1\cdot (a+ib)=a+ib\hspace{3pt},\hspace{3pt}i\cdot (a+ib)=ia-b=-b+ia$

ふたつの単位ベクターを並べると$\begin{pmatrix} a  & -b \\ b & a \end{pmatrix}$ てな形になりますか。。

てか、それでいいのか？щ(°д°щ)　ま、やってみよう。

あ、わかった！　$e^{i\theta}=cos \ \theta + i \ sin \theta$という極座標$\leftrightarrow$直交座標変換でのオイラーの公式から。

$\begin{pmatrix} cos \ \theta & -sin \ \theta \\ sin \ \theta & cos \ \theta \end{pmatrix}$ということで、いわゆる回転行列になるんすな。\(ﾟ`∀´ﾟ)/ｶｲﾃﾝ ｼﾞｪ~ﾑ

これは、結局$SO(2)$（特殊直交群）と同型ということに。

てか、上記の行列がリー群である

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$A=A^{\dag}$はエルミート行列で、$A^{\dag}A$がユニタリ行列ってことだけど。

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になってること確認しないとイケナイんじゃないかって？（ω・｡）ｸﾙｯ

それはワキが臭いだけのおまえらの永遠の課題だろうがっ！( °Д°)ｸﾜｯ　（永遠にかかるんかい）

あ、確認という意味ではユニタリ行列$A^{\dag}A=I$ってことになるかと。

これでやっと$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$になるわけですよ。

多分ね。。　いや、ぶっちゃけわからん。

仕方ない。　ちょっとやってみるか。

回転行列そのものでなく、要素を複素数にしなきゃならんようだ。。

てか、対角成分を実数、上三角と下三角を複素共役にすればジャストエルミートなんじゃない？(;´Д｀)

じゃ$\begin{pmatrix} 1  & -i \\ i & 1 \end{pmatrix}$でお願いします。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ　　(　 ) (　 ) ｼ~ﾝ  

Rとかようわからんけど、ベタにやってみる。

> mat1[1,1]<-c(1+0i)
> mat1[1,2]<-c(0-1i)
> mat1[2,1]<-c(0+1i)
> mat1[2,2]<-c(1+0i)
> mat1
[,1] [,2]
[1,] 1+0i 0-1i
[2,] 0+1i 1+0i
> mat1^2
[,1] [,2]
[1,] 1+0i -1+0i
[2,] -1+0i 1+0i
こんなん出まスた。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ　　(　 ) (　 )

これで合ってるんかいってのがね。。

やっぱ、単純な自乗ではなくmat1の複素共役版$A^\dag$を作りましょう。

> mat2[1,1]<-c(1-0i)
> mat2[1,2]<-c(0+1i)
> mat2[2,1]<-c(0-1i)
> mat2[2,2]<-c(1-0i)

> mat1*mat2
[,1] [,2]
[1,] 1+0i 1+0i
[2,] 1+0i 1+0i

結果違うやんｗ　ま、こっちの方が正定値生成複素数単位元っぽいのか？(;´Д｀)

量子力学を理解していない人の数と世界人口は等しい。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ　　(　 ) (　 ) ｼ~ﾝ

(；o_o)　＜●＞π 　(　 ) (　 )