未確認群内部構造
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
『みたいじゃなく、基地なのだ。』＜●＞π
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
$G$の正規部分群$H$とは、すべての$g\in G$に対して$gHg^{-1}=H$が成り立つ部分群のことなんだね。
ジョルダン標準形ですわ！( °Д°)ｸﾜｯ ただ、相似が同じものになるのか。。
$g a g^{-1}=b$ の$a,b$を共役と言って、この（共役＝同値関係）変換に対し不変ということだが。
要は$ga=b$となるような群作用$g$があるのが同値関係で、そのとき$ga$を軌道と呼ぶんだね。
なるほど、思いっきりラプラス校長的＜◎＞物理描像やないすかｗ
いかんですな、抽象化番長こと数学としたことが。(ロ_ロ )ｼﾒｼﾒ
自明でない正規部分群（自明なものは単位群$e$）を持たない群を単純群と言うそうな。
たとえば$3$を法とする巡回群$G=Z/3Z$は単純群であるが、巡回群$G=Z/8Z$はそうではない。。
群の元の個数（位数）が有限のものは有限群言うらしいが。
任意の有限群$G$のすべての部分群の位数$|H|$は$G$の位数$|G|$を割り切る（ラグランジュの定理）という。
これは有限群$G$の位数$|G|$の任意の素因数$p$に対して$p$部分群が存在するということ。（シローの定理）
共役類を$g S(a) g^{-1}=S(a)$と表すとして、群$G$は互いに素な共役類の和で表せることになる。
同じ集合への全単射（置き換え）は対称群というものをなすらしいが。
対称群$S_3$は共役類の直和に分解出来るということだ。
$S_3=\{e\}\oplus\{a_1,a_2\}\oplus\{a_1,a_2,a_3\}$ これわいつぞやのテンソル代数型！( °Д°)ｸﾜｯ
素晴らしい。 が、脳みそがミソスープになりかけておる。(´ཀ`ｶﾞｸｯ
てか、今頃まったりとペンディングするつもりだったんだけど。。
いきなり、線形＝全単射ゆえに群をなす！＜●＞π ﾇｷﾞ てなところから再ブレークしちゃったんだなｗ
（再ブレークやめい）
仕方ない。 きりのいいところ、と言ってもむしろ収拾がつかない感じで。(｀・ω・´)ゞ
結局、群の線型作用は$\displaystyle Ta_k=\sum_{i=1}^n a_iT{ik}$が基底となる？(;´Д｀)
$a_i$座標系の$T_{ik}$テンソルで群を表現尻ということかね。（ω・｡）ｸﾙｯ
ん？線型作用が作る群（一般線型群）と（部分）群が作る線型空間ってのは似て非なる概念だが。
リー群なんかの場合、そこの整合性とかどうなるんだしょ？(;´Д｀)
核（Ker）を正規部分群とした代数的閉体（Körper）とやらが出来るんだろうが。。
急がば回れ、ということですかなっ！
なんか、去年のモナド狂奏曲の二の舞を感汁。（てか、なにかが同じなんでわ？( °Д°)ｸﾜｯ）
＜◎＞ (；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
互に素な螺旋細胞
素粒子の標準模型のリー群は、結局全てユニタリー行列$U$だったがどんな性質を持っとるんだ？
ユニタリーのなにがうれしいかって、内積を不変に保つのもあるが、ノームを不変に保つんだね。
これは合わせてゲージ不変性の要請にあったテンソル（積）ということじゃないすか。
さらに任意のユニタリー行列には、$U=e^{iH}$が成り立つようなエルミート行列が存在するんすな。
これわ微分の一般解ですわ！( °Д°)ｸﾜｯ ということで素晴らしいのだが。
エルミートとか人の名前なんで、直観的に機能がわかりにくい。
実はユニタリー行列とエルミート行列は、それぞれ直交行列と対称行列でその複素数版。
直交行列は$AA^{T}=I$という、行列の転置双対が単位行列をなすもの。
対称行列は$A=A^{T}$という、転置行列も同じになるもの。
対称行列は直交行列で対角化出来るという。(;´Д｀)
これは対称行列が直交行列のｎ乗根だからなのだよ。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ ( ) ( ) ｼ~ﾝ
さて、そもそも行列のＮ乗なんてやっただろうか？ でも、これ確実に線型代数の範囲内でしょうな。。
正方行列$A$に対して
もし、それが対角行列ならば、対角成分をそれぞれｎ乗すればいいだけのこと。
$D^{n} = diag(\lambda_{1}^{n} , \cdots , \lambda_{k}^{n})$てなことで。
まぁ結局、対角化することが肝になるんすな。
対角化は行列$A$の特性方程式から固有値、固有ベクターを求め|ω・`）、固有ベクターの並びを$P$、固有値の対角行列を$D$と置くと、$PAP^{-1}=D$となてーるよ～。\(ﾟ`∀´ﾟ)/ﾀｲｶｸ ｼﾞｪ~ﾑ
（$PAP^{-1}$をジョルダンの標準形と言って、$A$の相似＝行列の同値関係を示すという。）
$PAP^{-1}=D$の両辺をＮ乗して変形すると、$A^{n} = PD^{n}P^{-1}$
つまり、これが行列のN乗になるんすな。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ ( ) ( ) ｼ~ﾝ
直交行列とは、$Ax=\lambda_1 x , Ay=\lambda_2 y$の固有ベクター$x,y$が直交しとる！( °Д°)ｸﾜｯ とゆこと。
実は線型独立な$A$の固有ベクターを取れるとき、$A$は対角化可能！ってことなんだな。
で、対角化の際には、固有ベクターを並べた$P=(x_1,\cdots,x_n)$が使えるデ、てなわけですな。
(；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
Kの意思
Kは代数的閉体のことだという噂がある。
Kはカーネル（Ker）のことかと思いきや、体（からだ）はドイツ語でKörper（ケルパー）言うらしい。
とりあえず別モンじゃないの。。 俺は一体何を納得したんだｗ
しかし、偶然にも$Ker \land Körper$であったということはあるハズ。(￣ー￣；)
ちなみに、空手、キック、カンフー、拳法などなぜか立ち技の多くはＫが頭文字である。
そのKingを決めようか！( °Д°)ｸﾜｯ というのがk-1の由来である。
ちなんでるんかい。(ง・ิω・ิ)ง
ま、数格闘技界を統一するKのリング＝環$\mathbb{R}$ということで、（なぜか）ほぼ合ってるｗ
ということで、Kそのもののハズの説明の中にKが出て来るという困った事態になったがｗ
ま、根は多項式関数の零点ということで、どっちもどっちナンですな～。。
この代数”的”って何だ？
体の拡大$L/K$は、$L$の全ての元が$K$係数の$0$でない多項式の根であるときに代数的であると言う。
循環論法的だが、、核（Ker）が正規部分群てなものだったことを思えばわかるような希ガス。
要はそれが”線型性”というモナ道ナンでしょうな。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ ( ) ( )ｼ~ﾝ
Kの次数が$n$のとき、体$L$をKの$n$次拡大体というそうな。（$\omega : V \times V \times V \times \cdots \rightarrow \mathbb{R}^k$）
有理数$\to$実数$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$は無限拡大、実数$\to$複素数$\mathbb{C}/\mathbb{R}$は二次拡大となるんですな。(ง・ิω・ิ)ง
任意のKに対して、解けない方程式がある場合は代数拡大体を作れるという。(;´Д｀)
逆にK上の任意の方程式がK内に解を持つならば、拡大体は作れない。
それが代数的閉体algebraically closed field（$K\equiv Ker \subset Körper$）$\land ^{k}V$というものなんすな。
(；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
オルフェウスの竪琴
演算子$\nabla$（ナブラ）はけっこう至るところに顔を出す。
というか、違う呼ばれ方をしておる。。
これらが同じものなのか確証がないままだった。
ザっと挙げると、ベクトル解析で言われているナブラ。 そもそもなんと言ってもこれなのだが。
これは微分$\displaystyle \frac{d}{dx}$を意味していて、中身が固有ベクターの偏微分線形和になっているというものだった。
要するに、ラグランジアン（一次元）とかでないとこうなっちゃうよンということ。
それでせめて演算子だけを一元化したものとも言える。
物理では、元々あまり抽象空間では考えないから、これも自然な成り行きかなと思えるが。
これの二階微分版がラプラシアンだったが、ナブラの内積ということで演算子の演算？などと怪訝に思ったものだが。
今にして思えば、これがテンソル積ってやつじゃない。
この$C^{\infty}$版がテンソル代数ってやつでしょ。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
あらゆるテンソルの演算をカバーする領域は、全ての階数の無限直和ベクトル空間であり(;´Д｀)/ それをテンソル代数なんて言うんだってね。
$T(V)=R\oplus V \oplus (V \otimes V)\cdots \oplus (\otimes^n V)\cdots$
これが、ベクター束の直和とテンソル積により可換環となり、位相空間圏から可換環圏への反変関手となるということか。。(#°Д°).∴
結局、よくわかんねーじゃねーかというねｗｗ
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
いや、少し見えてきたよ。 直和と直積に対し閉じとるのが環なんでしょう。
リー代数（$AB-BA$）（による生成）もそうだ。
$\mathfrak{g}=e^{iX}\in G$（微分の一般解！）としての生成空間がリー環。
で、違う呼ばれ方をしておったというのが、共変微分（covariant derivative）。
言ってみれば、ナブラの機能名（エイリアス＝別名）みたいなものなんだろうか？
その理解てか気付きで正しいかもしれんが、文脈がベクトル場での”共変微分”だったという違いはある。
$\displaystyle \nabla_j \omega_i=\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j}-\sum_a \Gamma^{a}_{ji}\omega_a$
ここで$i$はベクトル場を構成する（ディクロニウス）ベクター各点の、$j$は各点における（ディクロニウス）ベクターの固有ベクターの、$a$は補正項の添え字。
で、これがベクトル束の”接続”（ナブラ）という概念になるんだね。
ま、物理的な描像は諸刃の剣なんだろうが、目的意識という点ではイメージを持つのも大切。
これが微分の”滑らか”という、宇宙の圏における自己関手のモノイド対象が持つ特性モナ道なんだね。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
『線素がうまく張り合わされたとき、それは元の空間（多様体）と同じものにならないだろうか？
それがベクターの束ということだ。
それが自明となるとき、多様体は平行化が可能ということになる。
ベクター束は、それ自体をまた演算対象と出来るということだよ。』＜●＞π
ディクロニウスが最強の位相！( °Д°)ｸﾜｯ
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
これはそういう意味だったのか。。( -_-)
Ψಠﭛಠ＜◎＞ (；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
リー環上のリー群
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
『線素がうまく張り合わされたとき、それは元の空間（多様体）と同じものにならないだろうか？
それがベクターの束ということだ。
それが自明となるとき、多様体は平行化が可能ということになる。
ベクター束は、それ自体をまた演算対象と出来るということだよ。』＜●＞π
位相空間$X$上のK理論の群$K(X)$は、複素ベクトル$E$の同型類$[E]$の全体$VecBdl_{c}X$を生成系とする自由可換群に対して、完全列
$0\to A \to B \to C \to 0$
をもつすべてのベクトル束$A,B,C$に関して与えられるベクトル関係式
$[B]=[A]+[C]$として得られる商群である。
（ウィキペーより抜粋一部加筆。）
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
あーそうそう。なんか足りないなと思っていたら。。
リー群の作用。 リー代数の中身について知らなんだ。 聞いたことくらいはあるけど。
それは以下の、二項演算$[,];\mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$が与えられた時の組$(\mathfrak{g},[ ,])$だそう。
（大文字はすべての$\mathfrak{g}$の元。）
積$[,]$は双線型。
$[aX+bY , Z]=a[X,Z]+b[Y,Z] \hspace{4pt}, \hspace{4pt}[Z,aX+bY]=a[Z,X]+b[Z,Y]$
積$[,]$は非可換。
$[X,Y]=-[Y,X]$
積$[,]$はヤコビ恒等式。
$[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[X,Z]]=0$とのこと。
ベクターらしい規則性は感じつつも、まだいまいち明確でないが。。(｀･ω･´)
具体的には、$n\times n$行列に括弧積を$[XY]:=XY-YX$で定義したもののようで。
これは一般線型リー群$\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})$というもので、それぞれのリー群に対して個別にリー代数が対応する。
（たとえば$SU(n)$にたいして$\mathfrak{su(n)}$）
$\mathfrak{g}=e^{iX}\in G$（微分の一般解！）となるべく、Xの元の生成子を$\displaystyle [X_a,X_b](=X_aX_b - X_bX_a) = i \sum_{c=1}^n f_{abc}X_c$ てな感じで決定して逝くことになるんですな。（$f_{abc}$は構造定数）
これが物理界隈でささやかれておる、ブルース・リー微分なる都市伝説。。(ง・ิω・ิ)ง
あれ？
リー群$SU(3)\times SU(2) \times U(1)$（素粒子標準模型）は、ベクトル束がまた演算対象と出来るってこと？
「リー群は見るもんじゃない。 やるもんなんだ！( °Д°)ｸﾜｯ」獣神サンダーライガー
(；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
