互に素な螺旋細胞

素粒子の標準模型のリー群は、結局全てユニタリー行列$U$だったがどんな性質を持っとるんだ？

ユニタリーのなにがうれしいかって、内積を不変に保つのもあるが、ノームを不変に保つんだね。

これは合わせてゲージ不変性の要請にあったテンソル（積）ということじゃないすか。

さらに任意のユニタリー行列には、$U=e^{iH}$が成り立つようなエルミート行列が存在するんすな。

これわ微分の一般解ですわ！( °Д°)ｸﾜｯ　ということで素晴らしいのだが。

エルミートとか人の名前なんで、直観的に機能がわかりにくい。

実はユニタリー行列とエルミート行列は、それぞれ直交行列と対称行列でその複素数版。

直交行列は$AA^{T}=I$という、行列の転置双対が単位行列をなすもの。

対称行列は$A=A^{T}$という、転置行列も同じになるもの。

対称行列は直交行列で対角化出来るという。(;´Д｀)

これは対称行列が直交行列のｎ乗根だからなのだよ。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ　　(　 ) (　 ) ｼ~ﾝ

さて、そもそも行列のＮ乗なんてやっただろうか？　でも、これ確実に線型代数の範囲内でしょうな。。

正方行列$A$に対して

もし、それが対角行列ならば、対角成分をそれぞれｎ乗すればいいだけのこと。

$D^{n} = diag(\lambda_{1}^{n} , \cdots , \lambda_{k}^{n})$てなことで。

まぁ結局、対角化することが肝になるんすな。

対角化は行列$A$の特性方程式から固有値、固有ベクターを求め|ω・`）、固有ベクターの並びを$P$、固有値の対角行列を$D$と置くと、$PAP^{-1}=D$となてーるよ～。\(ﾟ`∀´ﾟ)/ﾀｲｶｸ ｼﾞｪ~ﾑ

（$PAP^{-1}$をジョルダンの標準形と言って、$A$の相似＝行列の同値関係を示すという。）

$PAP^{-1}=D$の両辺をＮ乗して変形すると、$A^{n} = PD^{n}P^{-1}$

つまり、これが行列のN乗になるんすな。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ　　(　 ) (　 ) ｼ~ﾝ

直交行列とは、$Ax=\lambda_1 x , Ay=\lambda_2 y$の固有ベクター$x,y$が直交しとる！( °Д°)ｸﾜｯ　とゆこと。

実は線型独立な$A$の固有ベクターを取れるとき、$A$は対角化可能！ってことなんだな。

で、対角化の際には、固有ベクターを並べた$P=(x_1,\cdots,x_n)$が使えるデ、てなわけですな。

(；o_o) ＜●＞π 　(　 ) (　 )