オルフェウスの竪琴

演算子$\nabla$（ナブラ）はけっこう至るところに顔を出す。

というか、違う呼ばれ方をしておる。。

これらが同じものなのか確証がないままだった。

ザっと挙げると、ベクトル解析で言われているナブラ。　そもそもなんと言ってもこれなのだが。

これは微分$\displaystyle \frac{d}{dx}$を意味していて、中身が固有ベクターの偏微分線形和になっているというものだった。

要するに、ラグランジアン（一次元）とかでないとこうなっちゃうよンということ。

それでせめて演算子だけを一元化したものとも言える。

物理では、元々あまり抽象空間では考えないから、これも自然な成り行きかなと思えるが。

これの二階微分版がラプラシアンだったが、ナブラの内積ということで演算子の演算？などと怪訝に思ったものだが。

今にして思えば、これがテンソル積ってやつじゃない。

この$C^{\infty}$版がテンソル代数ってやつでしょ。

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あらゆるテンソルの演算をカバーする領域は、全ての階数の無限直和ベクトル空間であり(;´Д｀)/　それをテンソル代数なんて言うんだってね。

$T(V)=R\oplus V \oplus (V \otimes V)\cdots \oplus (\otimes^n V)\cdots$

これが、ベクター束の直和とテンソル積により可換環となり、位相空間圏から可換環圏への反変関手となるということか。。(#°Д°).∴

結局、よくわかんねーじゃねーかというねｗｗ

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いや、少し見えてきたよ。　直和と直積に対し閉じとるのが環なんでしょう。

リー代数（$AB-BA$）（による生成）もそうだ。

$\mathfrak{g}=e^{iX}\in G$（微分の一般解！）としての生成空間がリー環。

で、違う呼ばれ方をしておったというのが、共変微分（covariant derivative）。

言ってみれば、ナブラの機能名（エイリアス＝別名）みたいなものなんだろうか？

その理解てか気付きで正しいかもしれんが、文脈がベクトル場での”共変微分”だったという違いはある。

$\displaystyle \nabla_j \omega_i=\frac{\partial \omega_i}{\partial x_j}-\sum_a \Gamma^{a}_{ji}\omega_a$

ここで$i$はベクトル場を構成する（ディクロニウス）ベクター各点の、$j$は各点における（ディクロニウス）ベクターの固有ベクターの、$a$は補正項の添え字。

で、これがベクトル束の”接続”（ナブラ）という概念になるんだね。

ま、物理的な描像は諸刃の剣なんだろうが、目的意識という点ではイメージを持つのも大切。

これが微分の”滑らか”という、宇宙の圏における自己関手のモノイド対象が持つ特性モナ道なんだね。

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『線素がうまく張り合わされたとき、それは元の空間（多様体）と同じものにならないだろうか？

それがベクターの束ということだ。

それが自明となるとき、多様体は平行化が可能ということになる。

ベクター束は、それ自体をまた演算対象と出来るということだよ。』＜●＞π

ディクロニウスが最強の位相！( °Д°)ｸﾜｯ

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これはそういう意味だったのか。。( -_-)

Ψಠﭛಠ＜◎＞　(；o_o)　＜●＞π 　(　 ) (　 )