リー環上のリー群

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『線素がうまく張り合わされたとき、それは元の空間（多様体）と同じものにならないだろうか？

それがベクターの束ということだ。

それが自明となるとき、多様体は平行化が可能ということになる。

ベクター束は、それ自体をまた演算対象と出来るということだよ。』＜●＞π

位相空間$X$上のK理論の群$K(X)$は、複素ベクトル$E$の同型類$[E]$の全体$VecBdl_{c}X$を生成系とする自由可換群に対して、完全列

$0\to A \to B \to C \to 0$

をもつすべてのベクトル束$A,B,C$に関して与えられるベクトル関係式

$[B]=[A]+[C]$として得られる商群である。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ウィキペーより抜粋一部加筆。）

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 あーそうそう。なんか足りないなと思っていたら。。

リー群の作用。　リー代数の中身について知らなんだ。　聞いたことくらいはあるけど。

それは以下の、二項演算$[,];\mathfrak{g} \times \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$が与えられた時の組$(\mathfrak{g},[ ,])$だそう。

（大文字はすべての$\mathfrak{g}$の元。）

積$[,]$は双線型。

 $[aX+bY , Z]=a[X,Z]+b[Y,Z] \hspace{4pt}, \hspace{4pt}[Z,aX+bY]=a[Z,X]+b[Z,Y]$

積$[,]$は非可換。

 $[X,Y]=-[Y,X]$

積$[,]$はヤコビ恒等式。

$[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[X,Z]]=0$とのこと。

ベクターらしい規則性は感じつつも、まだいまいち明確でないが。。(｀･ω･´)

具体的には、$n\times n$行列に括弧積を$[XY]:=XY-YX$で定義したもののようで。

これは一般線型リー群$\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})$というもので、それぞれのリー群に対して個別にリー代数が対応する。

（たとえば$SU(n)$にたいして$\mathfrak{su(n)}$）

$\mathfrak{g}=e^{iX}\in G$（微分の一般解！）となるべく、Xの元の生成子を$\displaystyle [X_a,X_b](=X_aX_b - X_bX_a) = i \sum_{c=1}^n f_{abc}X_c$　てな感じで決定して逝くことになるんですな。（$f_{abc}$は構造定数）

これが物理界隈でささやかれておる、ブルース・リー微分なる都市伝説。。(ง・ิω・ิ)ง

あれ？

リー群$SU(3)\times SU(2) \times U(1)$（素粒子標準模型）は、ベクトル束がまた演算対象と出来るってこと？

「リー群は見るもんじゃない。　やるもんなんだ！( °Д°)ｸﾜｯ」獣神サンダーライガー

(；o_o) ＜●＞π 　(　 ) (　 )