加群環準同型代数
さて、また地道な足場を固める作業に戻るとして。
境界というのは、実はイメージがおぼろげである。
たとえば、球の表面は境界なのか？
これは境界ではなく、球は境界を持たないようである。
一方、球を真っ二つにすると、その切り口（の縁）は境界になるんだね。。
境界とは二次元のループなのか？
いや、ループは一点に収縮が可能であり、トポロジー的には次元の固定化はもはや本質的ではない。
そこに、トポロジーは数学なのか？という疑念と、これこそ数学であるという相反する思惑が同居する。
そこで、（ホモロジー）代数と結びつけることによって、そこらへんは不毛な議論となったのだろう。
多様体を三角形（n 単体）の集合とみると、それらは当然境界を持つんだよね？
境界付き多様体は $\mathbb{H}^{n} := \{ (x^{1} , \cdots , x^{n}) \in \mathbb{R}^{n} \ | \ x^{n} \ge 0 \}$ などと表されると。
で、$H^{n}$ の $R^{n}$ における境界 $\partial H^{n}$ とは $x^{n}=0$ となる点集合全体 $\varphi(x)$ だそうで。( * )Д`)/ｱｱﾝﾑｯ!!
境界付き多様体を $\mathrm{M}$ とすると、境界点全体は $\partial \mathrm{M}$ であり、その連結成分を境界成分というそうな。
円は右回りとか左回りとか、方向性を持てるが、このようなものを向き付け可能な多様体と言って。
$\mathrm{M}$ が向き付け可能な可微分多様体の場合、$n-1$次の微分形式 $\omega$ において
$\displaystyle \int_{\mathrm{M}}d \omega = \int_{\partial \mathrm{M}}\omega$ が成り立つというのがストークスの定理ナンですな！( °Д°)ｸﾜｯ
これは同型ならば、線積分も面積分も一緒でっしゃろと言っとるわけで。
トポロジーが数学の王道（？）としても扱えることの証明とも言える。
元が同じなんだから、刻み方（微分操作）に依存せんとも言えて、当たり前といえば当たり前。。
なんでも、ミクロな方法論の世界に嵌ると道の理がわからなくなり、それが理屈ということですかな。
上記のような、（質の良い）扱いやすいモデルで考えられた $k$ 次の微分形式 $\Omega^{k}$ というド・ラム錯体で。
このコホモロジー（系列）がド・ラム・コホモロジーなんですな。( °Д°)ﾅ~ﾙ!!
もっとも微分形式の積分ですから、どっちも表裏一体（随伴）ですが。
積分には線型性が成り立つのであった。
微分形式とは、可微分多様体上に定義される共変テンソル場と呼ばれるものだそうで。
いつぞやの
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$G$ の正規部分群 $H$ とは、すべての $g\in G$ に対して $gHg^{-1}=H$ が成り立つ部分群のことなんだね。
ジョルダン標準形ですわ！( °Д°)ｸﾜｯ ただ、相似が同じものになるのか。。
$g a g^{-1}=b$ の $a,b$ を共役と言って、この（共役＝同値関係）変換に対し不変ということだが。
要は $ga=b$ となるような群作用 $g$ があるのが同値関係で、そのとき $ga$ を軌道と呼ぶんだね。
なるほど、思いっきりラプラス校長的＜◎＞物理描像やないすかｗ
（中略）
群の元の個数（位数）が有限のものは有限群言うらしいが。
任意の有限群 $G$ のすべての部分群の位数 $|H|$ は位数 $|G|$ を割り切る（ラグランジュの定理）という。
これは有限群 $G$ の位数 $|G|$ の任意の素因数 $p$ の $p$ 部分群が存在するということ。（シローの定理）
共役類を $g S(a) g^{-1}=S(a)$ と表すとして、群 $G$ は互いに素な共役類の和で表せることになる。
同じ集合への全単射（置き換え）は対称群というものをなすらしいが。
対称群 $\mathfrak{S}_3$ は共役類の直和に分解出来るということだ。
$\mathfrak{S}_3=\{e\}\oplus\{a_1,a_2\}\oplus\{a_1,a_2,a_3\}$ これわいつぞやのテンソル代数型！( °Д°)ｸﾜｯ
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という、群論ペストピアな大混乱の処方箋となる力学的足場を与えてくれることだろう。
微分形式は、微分方程式を幾何学的にとらえようと、エリ・カルタンが編み出したようで。
ルート系を分類する行列をカルタン行列と言った。。
物理で登場するユニタリ行列（直交行列）とは、複素数の単位行列のルートのことだった。
つまり、ルートベクターとは単位行列の２乗共役 $U^{\dagger} U=I$ 鏡映位置ベクターのことで。
カルタン行列は $\displaystyle A=a_{ij}=\frac{2(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_i,\alpha_i)}$ と定義される。
これが、ラプラス校長の二階微分テンソル積作用素 $\Delta$ ラプラシアンベクターの分類ということで
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『ベクターが確定してしまえば、見かけの問題は直交変換で何とでもなるんじゃないのか？』＜●＞π
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ってことの真意かいな？？
つまり、ルートベクターが確定すればそのリー代数 $\mathfrak{g}$ が決まる。
部分代数 $\mathfrak{h}$ は、$\mathfrak{h},[h,x]$ というルート固有値 $\lambda$ とルートベクター $x$ の準同型核イデアル $\lambda(h)x$ となる。
来てます来てます。式神波来てます。(ロ_ロ )ｼﾒｼﾒ
これが来たるディクロニウス文明の序章に過ぎないことを、地球人類は知る由もないのであった。
(；o_o) ＜◎＞＜●＞π ( ) ( )
