普遍被覆束多様体

ユニタリ群$U(n)$（複素直交行列）は普遍被覆$SU(n)\times R$を持つという。。(눈_눈；)

普遍被覆ってなんじゃい！！( °Д°)ｸﾜｯ

任意のユニタリー行列には、微分の一般解$U=e^{iH}$が成り立つようなエルミート行列が存在するってのは、この前やったけどね。

$SU$は行列式が１となる特殊ユニタリ群$det(U)=1$だが、この関係性はいかにも重要だろうな。。

$det(U)=1$より、エルミート行列トレース$Tr(H)=0$になるみたいなんだけど。(;´Д｀)ﾅﾝﾀﾞﾄ???

こういう時こそ、昨日のポアンカレー群こと基本群というトポロジカルな思考が役立つんですな。

夏野菜カレーみたくなってますが。

普遍被覆ってのは局所近傍（被覆空間）系で多様体$\mathrm{M}$をマルっと覆った全体$\tilde{M}$を指す模様。(｀・ω・´)ゞ

$\mathrm{M}$の基本群のループは、$\tilde{M}$の被覆変換というものに一対一対応するという。

今更だがホモトピックとは、そもそもどういう基準で言うんだ？というのを明確にしてなかった。

直感的には、同じ基点まわりの別ループということだが、なんせポアンカレー様代数系。

連続写像（関数）$H:[0,1]\times [0,1] \to X$が、$X$内のふたつの道$C_a,C_b$に対して、

$H(0,t)=C_a(t)$かつ$H(1,t)=C_b(t)$であるときに、写像$H$を$C_a,C_b$の間のホモトピーと言い、$C_a \simeq C_b$という表現になる、ということですな。

ループは基本群の単位元だったので、その数（穴の数）が位相不変量となり分類出来ると。

ひょっとして、環（群）という代数系は幾何学的にループと等価なのかね？　どっちも輪ですからな。

じゃ、多角形なんて変形すりゃ全部円なんだから意味ないじゃん！\(ﾟ`∀´ﾟ)/ｶﾞﾁﾎﾓ ｼﾞｪ~ﾑ

アレ？　三角形の内角の和は$\pi$。で、四角形は$2\pi$になっておる？

これは多角形が、線形分離によって三角$\pi$道の$K$基本群をナスことを示しておるのだっ！( °Д°)ｸﾜｯ

基本群$\pi(X)$の$\pi$は単なる象形ではなかったっ！！　さすがポアンカレー先生でございやす。(ロ_ロ )

トポロジーとは、テキトーな変形でお$K$と思っていた時期が僕にもありました。。

頂点（ノード）には何かが宿るということですかなっ。

分類的には、点$\nu_0$を０単体とすると、線$|\nu_0\nu_1|$が１単体、三角形が$|\nu_0\nu_1\nu_2|$の２単体ということで、多面体は頂点の数$-1$の単体集合$K$（辺単体）であり、それが複体をナス！( °Д°)ｸﾜｯ　とな。

位相空間論を、開集合によるwell-defined収束させたのは、場外環アウトという逃げ決着だったか。( -_-)

それは情報量単純化という、ガチ数格闘術サーバサイダーたる主催モチベーションの違い！( °Д°)ｸﾜｯ

あ、なんとなく見えてきた気がするんだけど。

ユニタリ群は、被覆である特殊ユニタリ群の単連結であるってなこと言ってるんじゃない？

要するに特殊ユニタリ群は、ユニタリ群の単体の群（？）になってて。

$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$ってのは、複体の群であるっていうことかな～。

ちな、ホッジ理論はリーマン面$X$の種数（穴の数）が、$X$上の正則１形式がなす空間$(C-)$次元と一致することを主張しておる模様。

やってやるぜホッジの野郎。(ง・ิω・ิ)ง

「だからホッジと殴り合うほど馬鹿じゃないとあれほど。」ルー・テーズ

(；o_o)　＜●＞π 　(　 ) (　 )