ディクロニウスの母船

体とは四則演算に閉じている集合だったが。

体 $K$ の元の個数 $K$（濃度）が有限のものを有限体という。

$\{0,1\}$のようなシンプルなものはともかく、有限の元で演算に閉じる集合を構成するのは難しそうだが。

実は、 $\{0,1,\cdots,p-1\}$ とすれば $p$ を法とする四則演算に対し体を為すという。( °Д°)ﾅﾝﾃﾞｽﾄ!

もっとも、$p$ は素数である。 そうか $p$ で割った余りってか。。(´ཀ`ｶﾞｸｯ

なんのことはない。　それをガロア体 $\mathsf{GF(p)}$ と言うのだそう。\(ﾟ`∀´ﾟ)/ｶﾞﾛｱ ｼﾞｪ~ﾑ

ガロア体には $\alpha ^{p-1}=1$ となる 原始元 $\alpha$ なるものが考えられるという。(ง・ิω・ิ)ง

これは１のＮ乗根やないスか～。

と言っても今となれば、なにそれおいしいの？（゜ρ゜）　という感じだね～。

１のｎ乗根 $1=x^n$ は、多角形の頂点を表す式 $x^n-1=0$ の変形であった。

その根は円分多項式 $\displaystyle x^n-1=\prod_{d|n} \Phi_d(x)$ という母船から旅立つUFO群であった。

それが既約表現ということだから、これは多項式の因数分解とも言える。

ちな、あまり馴染のない $\prod$（プロダクト）の意味は総乗ということだった。（自然数の総乗が階乗。）

有限体 $\mathsf{GF(p)}$ の０以外の元はすべて原始元のべき乗 $\alpha^n$ で表されるという。( °Д°)ｷｬｳ-

そして、符号理論の肝はガロア拡大体 $\mathsf{GF(p^m)}$ となる模様。(｀・ω・´)ゞ

デジタルの場合は、$\mathsf{GF(2^m)}$ と言ってもいいのかね。

$\mathsf{GF(2^m)}$  は要素として $\mathsf{GF(2)}$ の元を持つ $\mathsf{m}$ 次元ベクター全体が為す集合だという。(´ཀ`ｶﾞｸｯ

なるほどわからん。(　･`ω･´)　　(　 ) (　 ) ｼ~ﾝ

ギヤを。┌⊂(´゜ω゜ρ⌒q　だから、にわかに上げようねーだろって！！

ビット列の $x^n + 1$ 多項式表現あたりが理解のポイントになりそうですな。

そして生成多項式で割った余りを有限体の積と汁となっ！( °Д°)ｸﾜｯ　採用！m9(o_o)

これは、一般数学の多項式の割り算ですが。

デジタル機器の場合は係数は要らないので、そうか、こういう時にモニック言うのか。。

う～ん。　うんこ( ･ω･`)

実際は、どこの電機（通信）メーカーでも使いまわしの効く部品は持ってるんで、今やこういう足回りは有難い念仏扱いでロジックを意識することもないでしょうが、こういう処理自体は必須なわけですね。

これが来たるディクロニウス文明の第三章であることを、地球人類も私も知る由もないのであった。 

(；o_o) ＜●＞π 　(　 ) (　 )