式龍神の逆鱗圏
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
『内積空間とは、”実数”$R$を定義域とした対称双線型ベクター写像$\langle g,f \rangle$があると言っているのだよ。
線素がうまく張り合わされたとき、それは元の空間（多様体）と同じものにならないだろうか？
それがベクターの束ということだ。
それが自明となるとき、多様体は平行化が可能ということになる。
ベクターの束$\pi_1:E_1\to X_1$からベクターの束$\pi_2:E_2\to X_2$への射は連続写像$f:E_1\to E_2$と$g:X_1\to X_2$の対であって、$g \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f$を満たす。
それが$\pi:$接ベクター束TM$\twoheadrightarrow$多様体Mということでは？
つまりは、この世は平行化可能なベクトル場ではないのかね？』＜●＞π
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
グロタンディ－クの業績でモチーフというのが出てきたが。
チャーン類（指標）の親玉とかだったが、親玉という表現は一般化、抽象化ってことなんだろうね～。
そういえば、式神こと龍とは自然霊の親玉だと聞いたことがある。
圏（論）における、自然変換なる射が存在することのアナロジーを感汁。
実際、モチーフとは抽象化によって得られる幾何学的対象のことのようで。
ただ、この対象というのは表面的なものでなく、その本質ってことのようだが。
チャーン類（指標）とはベクトル束（バンドル）の位相不変量であった。
このベクトル束が連接層に、テンソル代数がホモロジー代数に一般化されたってことかなぁ。
幾何学的対象とは代数多様体というもので、そこからコホモロジーが構成出来るということらしい。
ホモロジーの逆演算ってことでしょう。（たとえば微分作用素のチェインに対する積分作用素チェイン）
ま、ホモロジーより”コホモロジーが重要”などとの声は聞いたことがあるけど、そういうことらしいな。
コホモロジーは代数多様体毎に種類があって、調べたい代数多様体によって
- ベッチコホモロジー
- エタールコホモロジー
- ド・ラームコホモロジー
等々があると。
位相空間 $X$ が $g$ 人乗りの浮き輪、つまり $g$ 個の穴があいているとして、$X$ のコホモロジーは
$H^i(X,\mathbb{Z}) \cong \begin{cases} \mathbb{Z} & i=0 \\ \mathbb{Z}^{\oplus 2g} & i=1 \\ \mathbb{Z} & i=2 \\ 0 & \text{それ以外} \end{cases}$
ということらしい。 どゆこと？(;´Д｀)
$X$ 上には $2g$ 個の一次元的なサイクルがあるんやで。(；^o^)□――□(•̀ω•́ )ゞ ってことなんスな！
これが $H^1(X,\mathbb{Z})$ の階数が $2g$ ということで。
コホモロジーはホモロジーと次数が下付き、上付きで区別するんですな。( °Д°)ﾅｰﾙ！
$\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Q}$ や $\mathbb{C}$ などの群（集合）ってことで、（線型代数の）係数なんだと。
そのそも位相空間とは$(\mathcal{X},\mathcal{O})$ という、集合に位相情報が加わったものだった。
この $\mathcal{O}$ とは、開集合系なる開集合の全体の集合のことであった。
ということは、以前はピンと来なかったが、開集合の玉ねぎという構造が考えられる。
それが（バウンダリやサイクルを内包した）鎖複体やないすか。。
開集合の包含関係 $U \subset V$ には（制限）写像 $\rho^{V}_{U}:\mathcal{F}(V)\to \mathcal{F}(U)$ が定まり、それが（前）層だとか。
ポールシフトしたチバニアン層のようなものですかな。(￣ー￣；)ﾎﾎﾞｱｯﾄﾙ
有名な米田埋め込みは、最も重要な前層の例ナンだとか。
ちなみに、関数型プログラミングにおいて層とは、関数と定義域の組の集まりになる模様。(｀・ω・´)ゞ
これは射と対象、つまり圏の構成要素だ。( °Д°)ﾅｰﾙ！
まぁ最終的には、そのように抽象的な形而上世界線上の実体に電子的に触れることが出来るわけですね。
そういう意味においては、現代は霊的な時代に突入したと言えるかもしれない。
我々の時代とは、敷居は桁違いに上がっており大変だとは思いますが。。
IT土方などと揶揄された頃と違い、アカデミックな意義すら生じることでしょう。
これが来たるディクロニウス文明の序章に過ぎないことを、地球人類はまだ知る由もないのだ。
(；o_o) ＜◎＞＜●＞π ( ) ( )
