ウイリー型集合族
13日の金曜日！m9◥(o_o)◤ψ
足元がグラグラ沸いている感覚があって気持ち悪い。
いつ地震が起きてもおかしくない状況だ。
（少し収まったが。。）
なんか、イミフだった群論の本がわりと普通に読めてしまえそうｗ $\Rightarrow$ 読みたいとか言ってない。
なんの免許が皆伝したん？( ﾟ ρ ﾟ ) 全部、今週言ってたようなことをネタに熱弁しとるわけだねｗ
要するに、どういう事柄について書かれているかがわかれば大筋はわかるんでしょう。
別の言い方をすれば、そこは”考えなきゃ駄目”なんだね。
俺の場合は人の話聞く比率が低すぎなんだろうな～。 でも、それでいいよ。
わかんなければわかんないで、そこは自分ではっきりしてるわけだから。
ちょっと芽生えた、数学オンチ返上の予感。今年の冬はひと味違うかな？(￣ー￣；)ﾌｯ
置き換えは全単射なんだね。 それゆえ逆元が存在する。
逆元が存在すれば合わせて（合成）単位元（のようなもの？）となる。
だから群をナス！\(ﾟ`∀´ﾟ)/ｸﾞﾝﾛﾝ ｼﾞｪ~ﾑ
同じ群の輪っかを回ってるから写像全体は同型なんだ。\(ﾟ`∀´ﾟ)/ﾄﾞｳｹｲ ｼﾞｪ~ﾑ
王長嶋の打順を入れ替えて長嶋王でも同じ巨人群ダス。(ロ_ロ )ｼﾒｼﾒ
ちな、全単射の一対一をＮ対一でもエエか、というのが準同型なんだね。
つまり準同型とは、君達シムマトリクスだね(；￢∀￢)/ｿﾌﾄﾀｯﾁ（＾д＾；）ということ！
線型代数とは群型代数なのである。（線形変換全体を$End(V)$というそうで、その乗法群が線型群。）
いや、置き換え代数と言ってもよかろう！！( °Д°)ｸﾜｯ
そういえば群準同型なんて言葉があったが、これはふたつの群の間の写像のことであった。
つまり、同型（同じクラス）であってオブジェクトとしては違うということですかなっ！( °Д°)ｸﾜｯ
物理世界でも、作用があれば反作用があって、これがシンメトリー（対称性）ということ。
それはとても自然なことだったのだ。 群の種類が多いのは当たり前だった。
集合の置き換えのあるところ群をナスのだから。
リー群を分類することをビアンキ分類というそうで。
これはいかにも相対論で出て来そうだから、どのみちここらへんがわからんと現代物理論では躓くね。
まぁリー群ペストになるのは”避けて通れん関所”のようなものなんだね。
リー代数の次元は$\mathrm{R}^{n}$と表現され$\mathrm{R}^3$は$\mathrm{R}^2$と$\mathrm{R}$に分解され、$\mathrm{R}$は二×二の行列$\mathrm{M}$になるという。( * )Д`)/ｱｱ
ここらへんの次元で混乱してしまうが、実数二次元で複素数（一次元のガウス整数）ってことかね？
ようわからんが、イメージとしては$\mathrm{M}:= a + ib$がリー群の元として多様体上の位置を示すものでもあり、それはまんまベクターに対するテンソル$\begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix}$積になるてなことナンですかな。
とにかく、この$\mathrm{M}$が11種類に分類出来るってことらしいんだな。(ロ_ロ )ｼﾒｼﾒ
素数$p$を法とした巡回群$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$を単純群といって、この根（単純根）分類がディンキン図形のようだ。。
（単純群は、厳密に言えば群$G$の正規部分群が自明のものー$G$自身と単位群に限るとのこと。）
単純根$\alpha , \beta$のなす角は、90°$\circ \hspace{5pt} \circ$、120°$\circ-\circ$、135°$\circ\Leftarrow\circ$、150°$\circ\Lleftarrow\circ$の４通りしかないという。
まぁ、ここらへんはもうちっと理論的なことを勉強しないとな。
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ルート系を分類するカルタン行列は、鏡映位置ベクター$x,y$に対するユニタリ作用を”$u=x-y$”とおいたハウスホルダー行列$\displaystyle P=I-\frac{2uu^{T}}{\|u\|^2}=\frac{2uu^{T}}{\|u\|^2}$と同じで $\displaystyle A=a_{ij}=\frac{2(\alpha_i,\alpha_j)}{(\alpha_i,\alpha_i)}$によって定義される。
ディクロニウスベクターの集合$\Delta$がルート系であるとは、
- $\alpha \in \Delta$が定める鏡映$s_{\alpha}$は$\Delta$の元を$\Delta$の元に移す。
- $s_{\alpha}(\beta)=\beta-a_{\alpha \beta}\alpha$とするときに$a_{\alpha \beta}=\frac{2(\alpha,\beta)}{(\alpha,\alpha)}\in \mathbb{Z}$となる。
- $\alpha \in \Delta$のときに、$m \alpha \in \Delta$となる$\mathcal{m}$は$m\pm 1$しかない。
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リー代数とは、$s_{\alpha1}s_{\alpha2}\cdots$がワイル群をなす群型代数。
ワイル群は$(n+1)$語の入れ替え全体のなす対称群$S_{n+1}$になるという。。( °Д°)ﾎﾟｶ~ﾝ
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