ひまわり

ひまわり

人類コロナは自己満足の件における単なる自己削減の対象だよ。何か問題でも?( ・ิω・ิ)ナンノコッチャ  (  ) (  ) シ~ン

シムメィトリクス

置き換えそのものを元とする群を対称群というそうで。

二次 $i=\{1,2\}$ の置き換えは0回が $e=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

1回が $s=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$ で全てということでシンプルだ。

これらが群をなすというのは、$e$ と $s$ の作用(積)がまた $e$ か $s$ になるということ。

実際、$e^2=e \ , \ es=s \ , \ se=s \ , \ s^2=e$ ということで演算に対し閉じている。

これをマトリクスにまとめたものが積表で、いかにも群論らしい!( °Д°)クワッ

$\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{|c|c|c|} \hline   & e & s \\ \hline e & e & s \\ \hline s & s & e \\ \hline \end{array}$

これが3次以上になるととたんにワケわからなくなる。

そこからが、本当の数学なんでしょうな。

n次の対称群は $\mathfrak{S}_n$ などと表現される。

これだよ! 群論の類を見ると出くわす門外漢お断り的な空気を感じる記号わ。

てっきりグループのGなのかと思いきや、実はSなのな。(フォントはフラクトゥール体)

 

シンメトリーとは対称性を意味し、物理や(もっぱら西洋的な)美的感覚において重要視される。

要は見たまんま均整が取れているのを好むということで、西洋の美的感覚はダサいと思う。

但し、機能的な意味ではダサいくらいシンプルでなきゃ複雑になるだろ?ということだろうね。

つまり、彼らの美的感覚はあくまで機能美であると捉えれば、それとこれとは別物だと思える。

和魂洋才は物事の本質を捉えた概念である。 てか、それを全世界標準にすればいいよ。

で、対称性ってなんだ?とさらに突っこめば、変換に対して不変である、と定義されるんだね。

ここが科学禅問答スキーマなのだ。

こういう定義があれば、たとえば位置をズラすとまた同じパターンになるってのも対称性なんだね。

並進対称性といって、結晶構造などに現れる。 物理的な事柄にはこんな対称性が多いのである。

コーヒーカップやフェンスの紋様等々に応用されていて、確かに西洋的な瀟洒しょうしゃを感ずることが出来る。

 

さて、置き換え前の集合と置き換え後の集合は同じだろうか?

元の並びは違うが、同じ集合であると言えるだろう。 つまり、対称性見っけ!ということナンだな。

シンメトリーのシン(sym)とは同一を意味するんだな。 $\mathfrak{S}_n$ とは $Sym(n)$ ということ。

シンメトリーとは、同一の積表なのだ。

そんなこんなが表現論の発端だと思われ、$G:X\to X$と書けば、これは同型写像ってことだろうな。

そうか。 正方行列$A$は逆行列$A^{-1}$を持つから(線型)群をなすのか。。

線型はもう古い。 これからは群型だねっ!!!( °Д°)クワッ  <●>π

どっちもよくわかってないのに、ワシが切り開いた!( ・`ω・´) みたいなねw

でも、なんとなく(西洋)数学の枠組みが見えてきた。

万物流転は東洋的な見方だが、その中の普遍性(不変性)に価値を見出すのが西洋流なのかもね。

たとえば、1から3の置き換えは3から1の置き換えもあることを意味する。

そうしないと置き換わらないもんね。 ”互換”というのはそういう意味だ。

それが共役とか随伴とか組ひもなんて呼ばれる対称性概念だったのだ!

これが組み紐群 $B_n$ をなすようだが、対称群とはまた違うんだな。(;´Д`)/ヤヤコシイ

n次対称群のうち、偶置き換えのみを集めるとn次対称群の正規部分群をなすそうで。(◎◎;

これを交代群 $A_n$ 言うらしいが。( * )Д`)/アアッ

5次以上は交代群がさらに小さな群の合成では表せませんな( °Д°)クワッ ってのがガロア理論なんだそう。