熊殺しウイリー群

リー群の構造定数ってのはエディントンのイプシロンというものではないかと思うんだが。

レヴィチビタ記号と言った方がいいかもだが、どのみちようわからん！щ(°д°щ)

これはいかにも相対論で出て来そうだから、どのみちここらへんがわからんと現代物理論では躓くね。

まぁリー群ペストになるのは”避けて通れん関所”のようなものなんだね。

これが二階のものなら

$\epsilon_{ij} = \begin{cases} +1 &\text{if (i,j)} =(1,2) \\ -1 &\text{if (i,j)} =(2,1) \\ 0 &\text{if i=j} \end{cases}$

ってことらしい。　なんともやらしい感じだが、このとおりに”構造”してみると

$\begin{pmatrix} \epsilon_{11} & \epsilon_{12} \\ \epsilon_{21} & \epsilon_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

ということで、構造定数とやらは反対称行列（テンソル）ってことだと思われ。

なぜ、（リー代数に）このような変換オペレータが必要なのか？

そして、これをｎ階に一般化するにはどうしたらいいんだ？(;´Д｀)

ちなみに三階の場合は答えだけはわかってるんだけど、どうしてこうなるの？ってのがわからない。

$\epsilon_{ijk} = \begin{cases} +1 &\text{if (i,j,k)} =(1,2,3),(2,3,1),(3,1,2) \\ -1 &\text{if (i,j,k)} =(1,3,2),(3,2,1),(3,2,1) \\ 0 &\text{その他} \end{cases}$

シフトローテートしてるのは見てとれるけど、それって何？

これは$\{i_1,i_2,\cdots,i_n\}$が$\{1,2,\cdots,n\}$を何回互いに置き換えたものでしょう、ということで

$\epsilon_{i_1,i_2,\cdots,i_n} = \begin{cases} +1 & \text{偶置換}  \\ -1 & \text{奇置換} \\ 0 & \text{その他} \end{cases}$

ってことらしい。(;´Д｀)ﾅﾝﾀﾞﾄ?

なにかひとつ、一組と言ってもいいかもしらんが置き換えるのを互換と言って。

どんな置き換えも互換の積で表せるという。　因数分解のようですな。

この積の回数毎に符号が入れ替わるらしいんだな。

なんがあったな～sgn関数みたいなの、線型代数の行列演算でそういや出てきたわ。

これは置換え σ が$\mathbb{m}$個の互換の積で表されるとき、$sgn($σ$)=(-1)^{m}$だぜということらしい。（◎◎；

というわけで、納得するには演習により手を動かすしかなさげですが。。

量子力学絡みで言うと、座標演算子$\hat{x}=x$ってのがあって、それ何って言われても答えられませんがｗ

$\displaystyle \hat{x}\frac{\partial x}{x}-\frac{\partial x}{x}\hat{x}=-1$ なる交換関係なんてものがあるらしいんだな。

ここから$[\hat{L_1},\hat{L_2}]\equiv \hat{L_1}\hat{L_2}-\hat{L_2}\hat{L_1}$　なんていうリー代数独特の演算定義が出て来るわけだが。。

量子固有の力学とか存在しない、ハズだが。　この手の話が多すぎるんで独立しとるということかと。

ベクトル場の回転$\nabla \times A$の各成分は、レヴィチビタ記号を使って

$\displaystyle (a \times b)_i = \sum_{j=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}\epsilon_{ijk}\frac{\partial A_k}{\partial x_j}\hspace{10pt} i=(1,2,3)$ と表現出来るんだな。

この（エディントンの）イプシロン添え字を使わないものがホッジ双対という概念なんだと。(ง・ิω・ิ)ง

リー群は、線型代数群（一般線型群）の部分群だったから当然なのかもしらんが、どのみち厄介だ。

アワ食った線型代数ゴリ押しは、ディクロニウスの戦慄的戦闘能力に触れた者達の置き手紙なのか。。

線型（ベクター）は忘れた頃にやってくる、というわけかね？（ω・｡）ｸﾙｯ　やべっ、脱出！|彡ｻｯ!

(；o_o) ＜●＞π 　(　 ) (　 )