穴空きぃ in the UK
リーマン面とは、一言で言えば一次元の複素多様体を指してて、これが基礎になるようだが。。
ひとつのリーマン面が”連結しとる”単位ってことの模様。
イメージとしては複素平面なんだが、違いはこれを何次元にでも拡張出来ることなんだろうな。
複素平面をクルクルと巻いて平面上の両端の無限遠点を合わせれば、これは筒になる。
スミスチャートの発想もそういうことなんだろうけど。
この筒の両側を合わせれば、これはトーラスになる。 つまり実体は同じものだ。
これ、どっかでやったな。ほとんど覚えてないけど。
でも、今なら穴が二つあるものはリーマン面がふたつあると見做せる、と解釈出来る。。
ま、わかったような、わからんような。。
単連結というのは穴がないってことなんだね。
だから、穴あき平面てのは連結だが単連結でないという扱いになるようだ。(;´Д｀)/ﾔﾔｺｼｲ
そういえば、経理の世界でも会社”単体”の決算とグループ（群）の”連結”決算てな概念がある！
リーマン面のメリットは正則関数が定義出来ることである。
つまり、ある位相をもつ類体の振る舞いを調べられるということなんだな。
類体というのは実態はわからんが、位相同相な多様な体という意味で自然に出て来たのだが。
リーマン面はそもそも、いわゆる多価関数という複素関数（論）で目にしたものだ。
それは解軌道の輪っかが切れていて、一周したら別のリーマン面に移るというものだったように思うが。
リーマン面とは座標近傍系を与えられたハウスドルフ空間$(\mathcal{S},\mathcal{A})$ ( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ ( ) ( ) ｼ~ﾝ
つまり、座標近傍系＝被覆だから$\mathcal{S}$は”被覆空間”であって、それが普遍被覆ってやつか。
$U$（ユニタリ群）は被覆空間であり、それが均一な被覆ならば$SU(n)\times R$なんて空間が考えれて、（基）底空間$SU$への被覆写像$p:U\to SU$が単体の群（？）なのかな？なんてイメージは持てる。
リーマン面の分類は、モジュライ空間またはタイヒミュラー空間として分類出来るという。（◎ο◎；）
これが数学界に認められたのは、カルダノが三次方程式の解の公式を明らかにしたものによるようだ。
認めたくはないが、数学界で無視出来ん存在に踊り出たというのが真相のようだ。
なんといっても、それは二次方程式の解の公式発見から何千年も経っていたのだから。
