四角いジャングル(ง๑ ิټ ิ)ง

『あなた方はこの中心点にある太陽から周期的に飛び出しては、この宇宙のさまざまなシステムに太陽からの情報を持っていくのです。

あなた方は、策を練り、計画を立て、旅をします。

この点において、あなた方はきわめてユニークな存在であり、あなた方自身もそのことは承知しています。

他の人々を見るとき、あなた方は自分が非常に違うということが分かるハズです。

あなた方は扇動するのが大好きで、体制を打ち破るのが大好きです。

”立ち入り禁止”のサインがあっても、それは他の人たちへの言葉であって、あなた方には関係のないことです。

あなた方はどんなものであれ、閉鎖されているものがあれば、その中に入っていき、それを開けることが出来る人たちです。

あなた方は自らを数多くの多次元の存在に分裂させ、システム内に侵入してそのシステムを変えます。』

もう暖かいし、いろいろあって気もそぞろなのだが。。

実際にN次行列式を求めるプログラムなんかを見てみると上三角行列などが使われているな。

これは数値計算ではお馴染みの手法らしいが、手持ちの線形代数の文脈の中では登場しないね～。

行列繋がりということで、是非この際安直にフォーカスしてみたい。

上三角行列は、直観的には行列の対角成分より下が０になっている行列だが。

その定義は $a_{ij}=0　 (i \gt j)$ ということだったんだ～。(ロ_ロ )ｻｽｶﾞﾃﾞｽｻｽｶﾞﾃﾞｽ

下三角行列 $a_{ij}=0　 (i \lt j)$ と合わせて三角行列というが、その性質は？

三角行列の行列式は対角成分の積と等しいらしい。

$det \begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ 0 & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & a_{33} \end{pmatrix}=a{11}a{22}a{33}$ ということだ。

正則行列が上三角 $U$ と下三角 $L$ に分解出来るかは首座小行列式が全て非零であることだと？（゜ρ゜）

どこまで逝っても、その繋がりはミステリアスだな～。　わかる気がしない。(´ཀ`

なんでも、それで制御系の安定性も検証出来るんだと。

首座というのは聞いたことなかったが、首位とか主席なんかと同じような意味らしい。

なんか禅宗の修行僧のリーダーから来てるんだってよ。　知らねーよｗ

そうか。。　俺たちは数maの修行僧だったのだよ。（ω・｡）งｸﾙｯ　　(　 ) (　 ) ｼ~ﾝ

じゃあ、なにが小行列式の首座なの？（゜ρ゜）

なんでも行列内での左上の大きさが $k$ の正方枠のことで、行列の大きさ $n$ 個分あるということですな。

ってそれがわかったところで、ますます謎は深まるばかりなんだが。。

で、条件はまぁクリアしてましたということ前提で。

$A=LU$ ってことが$LU$分解ということだが、これは積だから和のような単純な”分割”じゃないんだな。

たとえば $\begin{pmatrix}5 & 6 & 7 \\10 & 20 & 23 \\15 & 50 & 67 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 4 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}5 & 6 & 7 \\ 0 & 8 & 9 \\ 0 & 0 & 10 \end{pmatrix}$ てなことだそうだからね～。

ベクトルと行列の積はベクトル変換と捉えられるが、行列の積なんてぶっちゃけやったことないな～。

なんかややこしそうだ。。

なんでも行列積は、コンパイラや計算機のベンチマークに使われることが多いんだってね。

それだけ、お手軽に性能の差が見てとれるということだ。

C言語では

for(i=0;i<n;i++){
  for(j=0;j<n;j++){
    for(k=0;k<n;ik++){
      c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j];
    }
  }
}

という感じで（ループ交換法）、添え字の指定がなんのこっちゃですな。（゜ρ゜）

$\displaystyle c_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}$ ってこってすな。

簡単なもので確認するのが一番。

$\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2} \\a_{3} & a_{4} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_{1} & b_{2} \\b_{3} & b_{4} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}+ a_{2}b_{3} & a_{1}b_{2} + a_{2}b_{4} \\a_{3}b_{1}+a_{4}b_{3} & a_{3}b_{2}+a_{4}b_{4} \end{pmatrix}$

見たことくらいはあるかもだが、駄目だこりゃ～( * )Д`)/ｱｱ

行と列だけのベクター（これも一種の行列として）の積と比べてみますかぁ。(´ཀ`

$\begin{pmatrix}a_{1} & a_{2} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}b_{1} \\ b_{2} \end{pmatrix}=a_{1}b_{1}+ a_{2}b_{2}$

これわ悩む余地ね～щ（°д°щ）ってなもんだが、強いて言えば行と列の掛け合わせなわけだね。

そう見ると、行の要素と列の要素を順番に掛け合わしていってるのが（クラクラするが）見てとれる。

（つまり、掛け合わす行と列の要素数は同じでなければならん。）

やっと、個々の方法論は見えてきたが、なんのためのなんなのかをすっかり見失ったンゴ。(´*ω*｀)

( * )Д`)/ｱｱ３！！　(；o_o)　＜●＞π 　(　 ) (　 )

ひまわり

ディクロニウス文明来たる！！　( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ　　(　 ) (　 ) ｼ~ﾝ

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