巡回符号マン問題(｀・ω・´)ゞ

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『線型符号は簡単だがな～。』＜●＞π

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涙の数だけモチベーを下され。(´ཀ`ｶﾞｸｯ

巡回符号は、多項式表現された情報ブロック $U(x)$、符号語 $W(x)$、検査記号 $C(x)$を計算汁！( * )Д`)/ｱｱ

ってことで、$W(x)=U(x)x^{\mathrm{m}}+C(x)$ という関係式になっているんですな。（◎◎；

生成多項式 $G(x)$ ってのがここでは絡まないが？(;´Д｀)

実は検査記号 $C(x)$ ってのは、$U(x)x^{\mathrm{m}}$ を生成多項式 $G(x)$ で割った余りなんだね。(ง・ิω・ิ)ง

少しずつ構造が見えてきた。　実際の計算なんて計算機がやりゃいいんですからな。( ﾟ∀ﾟ)ｱﾊﾊ八八

$U(x)x^{\mathrm{m}}$ を$G(x)$ で割ったものを商多項式 $B(x)$ と言って、$W(x)=B(X)G(x)+C(x)+C(x)=B(X)G(x)$ となるといふ。（ω・｡）ﾅﾇｯ

なぜならば、$U(x)x^{\mathrm{m}}=B(X)G(x) + C(x)$ だからだ。( * )Д`)/ｱｱ ﾔﾐﾖﾆ ｶﾗｽ

しかし、ようやるわ。。　ここらへんが、”巡回符号”ならではのからくりですかなっ！( °Д°)ｸﾜｯ

巡回符号って、たとえば$(7:3)$の場合に、３ビットが情報ビットで余り４ビットが検査ビット

$u0:000|0000$

$u1:001|0111$

$u 2:010|1110$

$u3:101|1100$

$u4:011|1001$

$u5:111|0010$

$u6:110|0101$

$u7:100|1011$

てなことで。　$u1$ が普通に左シフトしてますやん。( °∀°)ﾜﾊﾉヽﾉ ＼

これこそ、機械がやったんさいってなモンで。

こいつらが、符号語なすものたちで各ビットを多項式の係数と見做すと

$u1=x^6 + x^5 +x^4 + x^2 \ , \ u 2 =x^5 + x^4 +x^3 + x \ , \ u 3 =x^4 + x^3 +x^2 + 1 \ , \ \cdots$ てなことで。

各符号は互いに $x^{\mathrm{m}}$ を掛けたり割ったりすることに相当しておる。

シフト演算てそういうことだからね。( °Д°)ﾅ~ﾙ!

要は、どの符号をとってもすべての符号多項式を割り切ることが出来る構造なんだ。

つまり、生成多項式の条件を満たしとると。　その発想はなかった！( °Д°)ｸﾜｯ

$\mathsf{GF(x)}$ は符号界の仮想通貨や～！\(ﾟ`∀´ﾟ)/ｴｯｸｽ ｼﾞｪ~ﾑ

手計算するまでもないと思うが、

$\begin{aligned} &       x^2 \\ x^4 + x^3 +x^2 + 1 &  \overline{)  x^6 + x^5 +x^4 + x^2} \\ &       \underline{x^6 + x^5 +x^4 + x^2} \\ &                                          0\end{aligned}$

な～んてことだよね？　偉し！！( °Д°)ｷｭｯ　採用！m9(o_o)

ちなみに、ここが EXOR（排他的論理和 $\oplus$）で、一致してない項が余るんだね。（全部 $+$ になる。）

高尚な数学談義は何だったのでアルかｗ（ま、結局素養も問われるかと思いますが。。）

これが来たるディクロニウス文明の第四章であることを、私も地球人類も知る由もないのであった。 

(；o_o) 　＜●＞π 　(　 ) (　 )