ダニーホッジ股裂分解

ちょっと間が空いたので、あらためて。

滑らかな多様体$\mathrm{M}$上のk次微分形式を$\Omega^{k}(\mathrm{M})$で表すとして。

外微分$d^{k}$というものが$\Omega^{k}(\mathrm{M})$を$\Omega^{k+1}(\mathrm{M})$に移す写像となるんですな。

これを、この前の完全系列なディクロニウス圏の関係式を適用すると

$H^{k}_{dR}(\mathrm{M}) = ker \ d^{k} / im \ d^{k - 1}$てな形で表現出来て、これがドラム・コホモロジー（群）だそう。

ちなみに$ker \ d^{k}$の元を閉形式、$im \ d^{k}$の元を完全形式というそうな。

コホモロジーというのは系列（鎖複体言うそうな）を双対化（$Hom(-,R)$）したもののようで。

ポアンカレの双対性定理により、$H^{k}(\mathrm{M})\cong H_{n-k}(\mathrm{M})$というホモロジー（群）との対応関係に成る。

（nは多様体$\mathrm{M}$の次元。）

これの意味することは非常に大きいんだろうが、いかんせん数学オンチにはピンと来んのがなんとも。。

任意の微分形式$\omega$は、$\omega = d\alpha + \delta \beta + \gamma$という３つの$L^2$空間に分離出来るという。(;´Д｀)

（$\delta$は余微分で$d^{*}$とも書けるそうだから、その方がシンメトリック。$\gamma$は調和形式。）

これをホッジ分解と言うそうな。これを説明するのがホッジ理論というわけか。。

やってやるぜホッジの野郎！(ง・ิω・ิ)ง

「ホッジと殴り合うほど馬鹿じゃない。」ルー・テーズ談

ところで、複素関数をふたつの実関数で表したものを調和関数などと言った希ガス。

複素空間とは$V^C=V\otimes C$というテンソル積であった！！( °Д°)ﾅﾝﾃﾞｽﾄ

これは$H^{k}(V)$を複素部分空間$H^{p,q}$に直和分解出来ることを意味するんだね。

デンジャラスkとは外積による新たな直交生成ベクター空間なのだから。

「テンソル積と直和が入れ替え可能な関係式が生汁！」m9(o_o)　というわけかね。（ω・｡）ｸﾙｯ

来てます来てます。スカラー波来てます。(ロ_ロ ) 

(；o_o) ＜●＞π 　(　 ) (　 )