完備射影内積大魔王
内積はスカラーで$x \cdot y = \lambda$などということであるが。
これを双対的にとらえると、$x$の$y$に対する関数とも言えるね。$\phi_{x}(y)=\lambda$
これは線型汎関数なのだ！ なぜなら$\phi_{x}$はベクトル空間の元$y$をスカラーに一対一対応させるのだから。
$\phi_{x}$はどこに所属してるの？と言えば、これは$x,y \in V$とは違う空間だよね。
これが双対の関数空間（？）で$V^{*}$としよう。
で、こうなるとさらに$\varphi : x \mapsto \phi_{x}$という関数が考えられるわけか。(;´Д｀)/ﾔﾔｺｼｲ
これが$V$から$V^{*}$への写像、そうか、要はこいつが”同型写像”ってやつなんだね。
$\varphi(\alpha)$には$(\alpha , \beta)$を満たす$\beta$が必ず存在汁。 採用！m9(o_o)
ウェッジ積による外積代数なる表記で生成空間デンジャラスKを$\land ^{k}V$で表す。
内積が定義されていれば正規直交基底{σ$^{1},$σ$^{2} , \cdots , $σ$^{n}$}がとれるわけだが。
こいつらは（添え字の）$i=j \to 1 , i\neq j \to 0$という関係のデルタ関数のパラメータとなる。
これはチョー関数やないすかっ！( °Д°)ｸﾜｯ
そうか、これは微分できひんハズの関数に微分定義するヨーロッパ最強のフロント抱きつき内積！！参考
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ところで、関数の台とは、値が$0$でないような関数のことらしいが。
正の値とは限らんようだが、たしかに定義域内でエアーズロックよろしくポコっとした台のようなイメージか。
コンパクトな台などと言われると身構えてしまうが、関数がポコっておると思えば死ぬほどたわいのない話である。
$supp \ f = \overline{\{x:f(x)\neq0\}}$などと定義されるようで、野獣サップか(ง・ิω・ิ)ง と思いきやただの肉だったみたいな。
関数の台は、ある有限領域以外は$0$であることを暗示している。
（ちょこざいな）ディラックのデルタ関数そのものじゃないの。
それがシュワルツ超関数$f$とやらであり、導関数をもたない関数$f$に対して滑らかな試験関数$\varphi$をセットに汁。m9(o_o)
昨日のデルタ関数の使われ方$\displaystyle \int_{-\infty} ^{\infty} f(t)\delta(t)dt=f(0)$などは、内積の積分になっとるので、こういう時に部分積分が使える。
というのを、前に重積分とかのところで習った気はしたが、もちろん完全に忘れている。
いや、そもそも一回でもちゃんと理解したかどうかも怪しいｗ
$\{f(x)\cdot \varphi(x)\}'= f(x)' \varphi(x) + f(x) \varphi(x)'$ちゅうことから、$\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f(x)' \varphi(x)= -\int_{\mathbb{R}}f(x) \varphi(x)'$てなことだけど。
これは、微分出来ひんハズの$f$の微分を$\langle f' , \varphi \rangle= - \langle f , \varphi ' \rangle$などとちょこざいにもwell-defined出来てまうことを意味する。。
要は、滑らかな関数と共役関係にあることにしてしまう、ということだね～。
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リーマン積分が無限獣に敗北を喫したように、どの道ただの微分は敗れ去る運命にあるのだ。
それが情け容赦のない、数格闘場の掟なんだぜ！(ง・ิω・ิ)ง
ところでバールの範疇定理というものがあるそうで。
いきなり何が言いたいんだかわからんが、これまた死ぬほど下らん定理に思えるが。。
空でない任意の開部分集合をバール空間と言って。
要は完備距離空間はバールの空間だぞ、と言っているのであった。
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『ベクターに距離などという概念はない。』＜●＞π
( °Д°)ﾅﾝﾃﾞｽﾄ
欲しけりゃ内積でノームを定義汁（距離を導入）
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Ψಠﭛಠ (ง・ิω・ิ)ง （ ）（ ）
