おテンソル代環様

昨日の$(b \times c)$などというものこそ二階のテンソルなんだね。

で、偽ベクターと三次元の残りのベクトルってのは別物だから、スカラー３重積とホッジ双対を絡めるのは間違いというか危険であった。反省。

軸性ベクター（偽）と極性ベクター（真）なんて言うそうな。　って、結局勉強にはなりました。

ま、あくまで三次元がイメージしやすいということで、そこだけ注意して下され。

で、階数とは（線型）写像の次数のことであった。

ま、関数と関数値を同一視すれば、偽ベクターがテンソルであり、ベクターの実体と関係ないわぁ。

みたいなところから差別化される概念、と言えよう。

ベクトルは一次元のテンソルなどという物言いは、表面構造的で違うだろう。

二階は$(V,V)\mapsto V \otimes V$だが、これを一般化すると$(\otimes{^m} V,\otimes{^n} V)\mapsto \otimes^{m+n}V$である。

ん？　これがｋ空間じゃね？　つまり偽ベクターの張るtensor（のか？）虚生成空間！( °Д°)ｸﾜｯ

なんかつかみどころがイマイチわからんかったが。。

あらゆるテンソルの演算をカバーする領域は、全ての階数の無限直和ベクトル空間であり(;´Д｀)/　それをテンソル代数なんて言うんだってね。

$T(V)=R\oplus V \oplus (V \otimes V)\cdots \oplus (\otimes^n V)\cdots$

これが、ベクター束の直和とテンソル積により可換環となり、位相空間圏から可換環圏への反変関手となるということか。。(#°Д°).∴

結局、よくわかんねーじゃねーかというねｗｗ

ま、とりあえず勉強に成町田。(ロ_ロ )　ということに。。

微分形式において$d$は外微分と言い、$df$は滑らかな関数$f$の微分を意味している。

ところで滑らかな関数に対し、$d(df)=0$となるようだ。

ん？　$d^2 f = 0$　これは$\Delta \phi = 0$と同型。　つまり調和関数でわないかっっっ。

ホッジは向き付けられたコンパクトリーマン多様体のK形式は、完全形式と双対完全形式（ホッジ双対）と調和形式（滑らかなカンシュー）に分解出来ると言っておった。(ง・ิω・ิ)ง

ここらで”向き付けられたコンパクトリーマン多様体”とやらを数学的にはっきりさせるか。

向きとは外積の偽ベクターが多様体の曲面に対し、どっち向くか決まっとるか？ということだね。

これは、三次元空間においては右手系、左手系などということかと。

コンパクトは奥深そうだが、とりあえず有限て意味でいいんじゃない。

で、リーマン多様体ってのは多様体の各点に計量テンソル$g$が与えられてるものだそう。

ちなみに、上記の条件ならラプラシアン$\Delta$は$d\delta + \delta d=0$ということになるようだが。。(;´Д｀)ﾅﾝﾀﾞﾄ

ところで、以前ウィキペーから抜粋したK群の完全列$0 \to A \to B \to C \to 0$ってやつ。

これを短完全列と言って。

先週の動画から、$A\hookrightarrow B \twoheadrightarrow C$（$\hookrightarrow$は単射、$\twoheadrightarrow$は全射。）ということらしいけど。

それを$A \to B \to C \to 0$と$0 \to A \to B \to C$にそれぞれ独立分離した系があるとして。

$\ker a \to \ker b \to \ker c \xrightarrow{d} coker \hspace{2pt} a \to coker \hspace{2pt} b \to coker \hspace{2pt} c$という系列が存在しますぜってのが蛇の補題ってヤツで、これを長完全列と言うんだな。

これはホモロジー圏からコホモロジー圏への導来関手（？）というものになってるっぽ。

ん？　蛇が導き来たる？　アポフィス（外死神）の召喚ナン？（ω・｡）ｸﾙｯ　　ಠﭛಠΨ

ホッジ双対が調和ラプラス校長関数環にテンソル代数的に合流すると考えればよいのか？

まさしく環上の加群になっておるわさっ！！！( °Д°)ｸﾜｯ

う～ん。本質的なところなんだろうけど、だいぶ頭も疲れてきた。

寝よう。(´-ω-)zzZ　　~>°～～ 

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