素ルートのジャングル(ง・ิω・ิ)ง

そうそう。　コロナ騒動でふっとんじゃったけど地震対策も少しでもやっておきたい。

というのも、倒壊の可能性が大だからだ。

本当は屋根瓦が重いので取り換えたいのだがいかんせん高い！　瓦を下すのが大変なわけだね。

だから、積み直し＆補修でお茶を濁したのだが。。

もうあまり家屋にお金は掛けられないので、ここはDIYで出来るレベルに的を絞りたい。(ง・ิω・ิ)ง

手短に出来るものとしては、ガラスの飛散を防止するシートでスリガラスのような目隠しにもなるぞ！

さて、複素数体 $\mathbb{Q}(i)$ ってのは、有理数体 $\mathbb{Q}$ の拡大体であって、拡大次数が $2$ の $q_0+q_1i$ で一意的に表現出来る元からなる、四則演算可能な集合体ってことなんだな。

多項式 $x^2+1$ ってのは実数では解を持たないが、複素数では $(x+i)(x-i)$ と分解出来る。

ってなことが分解体ってことかと。

こういう一般化が数学本来の切れ味なのであって、家庭用にカスタマイズされた包丁ってのは使えない。

ただ、そこに気付かなければ、それで十分ってことなんだろ？ってことにもなってしまう。

私もだが世の大多数は数学のアマチュアである。　日常生活に複素数が登場することさえないのだ。

気持ち悪さの正体は、そんな”事情”にあるのだろう。

分解体ってのは、体 $K$ の拡大体 $L$ であり、一次因子の積からなる多項式

$\displaystyle p(X)= c \prod_{i=1}^{\deg (p)} (X-\alpha_i) \hspace{30pt} \{ (X-\alpha_i) \in L[X] \ , \ c \in K \}$

（degは多項式の次数）

ってことだそうで、即座にハイわかりましたとはとても言えんがｗ、多少見慣れた感もあるかな。

これが、体 $K$ では因数分解出来んが、拡大体 $L$ なら逝けるデってことだよね～。。

ガロア理論は「体の有限次ガロア拡大 $L \backslash K$ が与えられると、その中間体とガロア群 $Gal( L \backslash K)$ の部分群の間に一対一対応が存在する」ことを主張するものらしい。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ　　(　 ) (　 ) ｼ~ﾝ

ちなみに、$\backslash$ ってのは差集合で、体とその拡大体との差が拡大ってことなんすな。

さて、対象 $X$ から対象 $X$ への射は自己同型 $Aut(X)$ と言い恒等射などと言われておる。

そもそも、群すなわち演算に対し閉じとるとはそういうものじゃないの。

任意の整数 $n$ を法として合同な数は同値類 $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ と書き、これを剰余類と言う。

さて、剰余類は群になるだろうか？　ならんのだったら、あんまりうれしくなさそうだが。

これはどう考えればいいんだ？（￣ー￣；）

剰余は割り算の余りだったが、これを加算や乗算に拡張すればいいのである。

法は決まっとるのだから、これは群になるよな。　そして、これが巡回群じゃないの！

いやいや、そうでないか。　巡回群はひとつの生成元だろ。

ガロア群とは $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$ のことであった。（$p$ は素数）

$\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ の乗法に対する単元（可逆元）のみの群を $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}^{\times}$ と書き既約剰余類群と言うんだと。

既約剰余類群が巡回群になるとは、元 $\alpha$ が存在して $\alpha^1 , \alpha^2 , \cdots $ が全ての既約剰余類群の元になること。

それが原始根ってやつですやね！ ガロア群$\mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$には必ず原始根が存在するという。\(ﾟ`∀´ﾟ)/ｿｽｳ ｼﾞｪ~ﾑ

これが来たるディクロニウス文明の第四章であることを、私も地球人類も知る由もないのであった。

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