Kヴァイルス環線拡大

体 $K$ は拡大していけば、いつか必ず代数的閉体になるという。

体 $K$ は演算に閉じているのだから、代数的閉体 $K？$ はそれと別物なのは明らかだ。

そもそも代数（的）ってなに？（゜ρ゜）

普通の数体系は体になりそうなもんだが、整数は体でないと言う。

たとえば、$3 \div 2$ は整数にはならんからだ。( °Д°)ｱｱ~~~~ｯ!

整数は環というものであった。　それは加法と乗法に対してのみ閉じとる数プロのリング。。(ง・ิω・ิ)ง

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$\mathbb{Q}$Anonは代数的数などと呼ばれておる。　これが体（デンジャラスＫ）をなすってことなのだ！

数のボディが見えてきたんだぜ！(ง・ิω・ิ)ง　我々は$\mathbb{Q}$(　･`ω･´)

そして、そうではない数は超越数などと呼ばれとるね。

それが代数方程式が解けんってことだが、そのとき解を形式的に用意汁のが体の拡大だそう（◎◎；）

ん？　そう言えば、実数を複素数にするには形式的に$\sqrt{-1}$が導入されておった。

複素数体$\mathbb{C}$は、体の拡大の必要性がないというか出来んというか、これを代数的閉体と言うんだね。

虚軸は普通に線型空間なのだから、線型代数は普通の代数なのだ。

$\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ は $\mathbb{Q}$ の拡大体、$\mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ の部分体、$\mathbb{Q}(\sqrt{2}) / \mathbb{Q}$ は $\mathbb{Q}$ の拡大。

拡大体の大きさは、この場合は Ｋである $\mathbb{Q}$ 倍になる。(　･`ω･´) We are $\mathbb{Q}$!

それが線型空間というもので、$\mathbb{Q}$ の大きさの次元が拡大次数ということなんだね。

有理数全体の大きさは無限大だから、これがヒルベルトの無限次元ベクトル空間だったのだ！( °Д°)ｸﾜｯ

これぞ Ｋ（ケルパー、体）の持つデンジャラスモナ道というわけですな。(ロ_ロ )ｻｽｶﾞﾃﾞｽ ｻｽｶﾞﾃﾞｽ

この体の拡大 (ง・ิω・ิ)ง で、”異種相まみえるだけ、体は強くなる”ってなマイ体論でし。(｀・ω・´)ゞ

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ん？　お、おう。

それは $K$ 上に根を持つことなんだってさ。　なるほどね～。

ということは、解と根の違いってことかね？

重根の場合、一つしかないのが解で、同じものが二つあるのが根だと。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ　　(　 ) (　 ) ｼ~ﾝ

もっとも、これは高校数学の教科書レベルでも混同されてるようだが。。

未定乗数 $\lambda$ でお馴染み（？）のラグランジュは、巡回群が方程式の可解性と関係することに気付いた。

ｎ次方程式の解（ｎ個あるんだした！）$\theta_0,\theta_1,\cdots,\theta_{n-1}$ に１のｎ乗根 $\zeta$ を掛け合わせた量 $L(\zeta,\theta_i)=\theta_0 + \zeta \theta_1 + \zeta^2 \theta_2 + \cdots + \zeta^{n-1} \theta_{n-1}$ をラグランジュのリゾルベントと言って、これが存在することは解の公式が存在することを意味するのだね。

巡回群とは生成元はひとつ$\langle g \rangle$ だがその n 乗が群をなすデ！( °Д°)ｸﾜｯ　なんてものだった。

ガロア群が巡回群なら、ラグランジュのリゾルベントが存在するという。

すなわち、それが代数的に解けるということ！（゜ρ゜）ﾅﾆｶﾞ?

これが来たるディクロニウス文明の第三章であることを、地球人類も私も知る由もないのであった。 

(；o_o) ＜●＞π 　(　 ) (　 )