静電決勝場世界線(ง・ิω・ิ)ง

ここで、先日のルートベクターなるものの理解に向けて考察を深めたし。

関心ない人にはどうでもエエ記事になるかもしれん。

てか、ここらへんはみんなわからないところですからな。( °Д°)ｸﾜｯ

$j$というベクターは、スピン角運動量ベクター$s$と軌道角運動量ベクター$l$を合わせたもんなんだな。

って言ってもなんのこっちゃだろうけど。

そもそも量子ってのは、ある量を持ってたら量を持った粒子がおると考えようズってことで。

それで油滴の静電気量を測ったら、ある数の整数倍になっとるっていう規則性があった。

これ、基底電気量持った粒子がおる証拠じゃね、と考えようズというのが電子君の由来。

で、電気量だけじゃなくて自転とか原子核周りの公転なんかの保存量も持っとるのね。

自転て思わず呼んじゃったけど、回ってるかどうかもわかんないわけだよ。

あくまで、惑星のようなモデルに当てはめて考えてますおってだけで。　姿を見たものなんぞおらん。

で、自転がなんか知らんが二種類の状態しかないの。　便宜上アップダウンと呼んでいるけど。

まぁ、磁気を帯びてるという意味ではアリかな。　とにかく、二つの状態しか観測されんのだって話。

電子の場合はスピン量子数は$\displaystyle \frac{1}{2}$だが、これは素粒子によって違ってて、電子のように半整数になるものをフェルミ粒子と言う。

その自転量と公転量の相互作用が角運動量の合成で、量子化学では重要な数理になるわけですね。

$j$は要するに（電子の）全運動量ってことだね。

で、ベクターだから方向があるハズだが。　それがこんなんで。

量子力学を学んだ人なら見覚えあると思うけど。　ま、いずれにせよ、なんのこっちゃかもなｗ

このエイチバー$\hbar$って言うんだけど、これ毎の飛び飛びベクターになってるよね。

この”$L$”（と"$S$"）の取り得る角度”ってのがリー群のルートベクター毎の分類に関わるってことですな。

$J_{\pm}$ってのは、$J_x \pm iJ_y$ってことで複素平面上の固有値（状態）を移す昇降演算子になるんですな。

$J$ベクターの各固有ベクターが、リー群の交換関係を満たすエルミート演算子なんだな。（ブツブツ）

直交座標系では、$[L_i , L_j]=i \hbar \epsilon_{ijk}L_k$ てなことになって。

これが、今年の夏に言ってた

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具体的には、$n\times n$行列に括弧積を$[XY]:=XY-YX$で定義したもののようで。

これは一般線型リー群$\mathfrak{gl}_n(\mathbb{R})$というもので、それぞれのリー群に対して個別にリー代数が対応する。

（たとえば$SU(n)$にたいして$\mathfrak{su(n)}$）

$\mathfrak{g}=e^{iX}\in G$（微分の一般解！）となるべく、Xの元の生成子を$\displaystyle [X_a,X_b](=X_aX_b - X_bX_a) = i \sum_{c=1}^n f_{abc}X_c$　てな感じで決定して逝くことになるんですな。（$f_{abc}$は構造定数）

これが物理界隈でささやかれておる、ブルース・リー微分なる都市伝説。。(ง・ิω・ิ)ง

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てなことに対応する。

この固有状態を求めるってことが、リー代数の既約表現を構成するということのようだが。（◎◎；

ここらへんはなんのためのなんなの？って感じで挫折してたとこだが、ちっとは意味わかったよね。

ただ、ガリガリ計算やっていくというよりは、なんか傾向つかめんのか？という。

それで、そのパターン元をルートベクターというようだが、これに関してはまだようわからん。

前置きだけで終わったようなモンだが、いつしか物理が数学に、数学が物理になるから頭痛いわけだよ。

てか、化学だったみたいなオチで。щ（°д°щ）　現代の錬金術になるのかもな。

てなわけで、明日は考察の続行を命汁！m9(o_o)

量子が織りなすパターンが現実世界を説明するのは言うまでもない、ことのハズなんだけど。。

これが理論的に難儀なシロモノで、皆グルッペン（群論）ペストを患い倒れて逝ったという。(´ཀ`ｶﾞｸｯ