ザ・オニオンルーター

ある群の部分群がさらなる部分群の有限列からなるものを組成列といい

$G=G_n \supsetneq \cdots \supsetneq G_0=1$ とか $\{1\}=G_0 \vartriangleleft G_1 \vartriangleleft \cdots \vartriangleleft G_k=G$ などと表現するようで。

う～ん。　いかにもな記号で知らんとビビってしまいそうだが、わかれば単純である。

要は群のオニオン構造ナンですな。(ง・ิω・ิ)ง　てか、これがデンジャラスKであった！( °Д°)ｸﾜｯ

オニオンのルートは０ベクター。　つまり、これが方程式の解じゃないの！

方程式を解くとは、最後の体がすべての解を含むこと。(　･`ω･´)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ　　(　 ) (　 ) ｼ~ﾝ 　

素数積と素因数分解なんてのも、一般化すればこういう構造を持つということなのか。

リー群構造である、ユニタリ群$U$全体の特殊ユニタリ部分群$SU$なんて構造もそういうことなんだろう。

そういえば、リー群⇔リー環は指数写像（エルミート行列）になっていた。根号を使って解くに通汁！

ガロアの天才的なところは、このような群構造のみに着目したということのようだが。。

それはむしろ、圏論的な視点ではなかったかと思われる。

何度も言うが、群・環・体などという分類に科学的根拠はなく、まったくの”邪道”である。

強いていえば、演算と群（てか代数構造）の定義を紐づけて分類したいということナンであろう。

線型代数の像やら核やらの概念はわかりにくかったが、これをチェイン写像で考えることで、一気に視界が開けたことがあった。

上の画像のように、像と核が全ての（系）列で被るものを完全系列っていうんだね。なーる！( °Д°)ｸﾜｯ

このときは、ラプラス校長の調和関数、つまり二階微分が$0$になる方程式の線型代数学的理解であった。

これの一般化が$G/N = G \ mod \ N$。　つまり、これがガロア群と呼ばれるものなのだね。

アーベル群（可換）とか、条件もあろうが（コ）ホモロジーなんて分野に発展するわけだね。

写像の積というものを、昨日の置き換えで見てみるか。

これは$fg(x)=f(g(x))$ということだが。

$f= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \ , \ g= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}$だったとして。

$g(1)=2 \vartriangleright f(2)=2 \ \Rightarrow \ f(g(1))=2$

$g(2)=3 \vartriangleright f(3)=1 \ \Rightarrow \ f(g(2))=1$

$g(3)=1 \vartriangleright f(1)=3 \ \Rightarrow \ f(g(3))=3$

おお $fg= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$ということで出来てるっぽ。

だが、この入れ子構造が（積の）非可換性というものになるわけだね。(ロ_ロ )ﾜｶﾘﾏｽ ﾜｶﾘﾏｽ

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