回転単位複素行列？ その２
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『いや、わかっていないのだ。 波動ベクターは”複素数”長さ$r$とアングル指数$e^{i\theta}$の内積だ。
リー環上のリー代数も同様に、指数写像$exp:\mathfrak{g}\to G$になるだろう。
リーマン面上では正則関数が定義出来て、リー群と不可分であると。
これもアンタが言っていたと思うがね。これが”エルミート行列”の意味だな。』＜●＞π
あれ？ たしかに。。(；・_・) じゃ複素数自体がリー群ってか？！( °Д°)ﾎｹﾞ~
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ネット上で、エルミート行列の例$\begin{pmatrix} 2 & 4+i \\ 4-i & 1 \end{pmatrix}$っつうのがあったので、これ使ってみよう。
> mat1[1,1]<-c(2+0i)
> mat1[1,2]<-c(4+1i)
> mat1[2,1]<-c(4-1i)
> mat1[2,2]<-c(1+0i)
> mat1
[,1] [,2]
[1,] 2+0i 4+1i
[2,] 4-1i 1+0i
> mat2[1,1]<-c(2-0i)
> mat2[1,2]<-c(4-1i)
> mat2[2,1]<-c(4+1i)
> mat2[2,2]<-c(1-0i)
> mat1*mat2
[,1] [,2]
[1,] 4+0i 17+0i
[2,] 17+0i 1+0i
てなわけで、$A^{\dag} A$をとると虚数部が消えるよ（係数が０）ということかね。
なんかまだこれらの使い処とか、ユニタリの意味にピンと来ないんだけど。。
もともと単位として考えられたものが、表面的な行列形式を指すように変化したのかな。
ま、最後ユニタリ行列として保持っておいて、内積の値を変えないってところまで確認するか。
そこは、回転行列（直交行列）とかゲージ不変性ということに繋がるからね。
あ、ユニタリ行列の例$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}} \\ \frac{i}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ってので確認する方が先だな。
> mat3[1,1]<-c(1/sqrt(2)+0i)
> mat3[1,2]<-c(1i/sqrt(2))
> mat3[2,1]<-c(1i/sqrt(2))
> mat3[2,2]<-c(1/sqrt(2)+0i)
> mat3
[,1] [,2]
[1,] 0.7071068+0.0000000i 0.0000000+0.7071068i
[2,] 0.0000000+0.7071068i 0.7071068+0.0000000i
> mat4[1,1]<-c(1/sqrt(2)-0i)
> mat4[1,2]<-c(-1i/sqrt(2))
> mat4[2,1]<-c(-1i/sqrt(2))
> mat4[2,2]<-c(1/sqrt(2)-0i)
> mat3 %*% mat4
[,1] [,2]
[1,] 1+0i 0+0i
[2,] 0+0i 1+0i
あ、内積って*じゃなくて%*%だったわ。（間違っとるやん）
思い切りRとか行列演算のお勉強になっちゃってるけど。
ま、それでいいんだけど。
そもそも行列の計算とかってしないからな。。 それはイケませんな！( °Д°)ｸﾜｯ
ともかくメデタク複素数（空間）で単位行列$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$になったじゃない。
じゃ、ユニタリ変換は値を変えない（恒等射、ゲージ不変性）とか、当たり前だす( ˙-˙ )
と、やっとの思いで魂の抜けきった知たり顔が出来るわけです。(ง・ิω・ิ)―Ю☆(´ཀ`ｶﾞｸｯ
実数の行列では自身の転置との内積になる単位行列$A^{T}A=I$（$A$は直交行列）が
複素数の行列では自身の複素共役との内積になる$A^\dag A=I$（$A$はユニタリ行列）っつうことですな。
興味があったら各自確認すべし！( °Д°)ｸﾜｯ （ブログに美田を残さず。）
ユニタリが単位になってるんじゃなく、そのルート（根）になってるんだね。
ルートと言えば、これはリー群の分類パターン系！( °Д°)ｸﾜｯ
つまり、鏡映パターンはどんなユニタリアルカ？( ｀ハ´) ということじゃね？
(；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
