鏡映回転関係表示

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『近代の科学技術の発展が、地球人類によってもたらされたとでも？』＜●＞π

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どうやらリー群はただの行列というフロッピーなものでなく、多様体と不可分の存在みたいだ。

プログラミングが設計の下流段階であるように、方法論（表現）は最後の手段だ。

それも複素数ということで、二次拡大の代数的閉体とやらになるのかな。

その数学的実体がリーマン面とかいうやつなんだな。

$X$を多様体、これを連結なハウスドルフ空間などと言ったりもするようだが、実数直線のような連続性と分離性を両立させているというのが、まさに多様体の定義に感動したところだ。

これに座標近傍系$A$というのが与えられた$(X,A)$をリーマン面いうんだね。

何がうれしいのかというと、この上で正則関数が定義出来るということなんだな。

正則ってのは領域内のどの点でも微分可能な複素関数で、正則ならば何回でも微分可能だから、これは$C^{\infty}$写像ってもんになる。

これが、リー微分なる都市伝説に繋がる道なわけだ。。

ところで、直交群は$O(n)=\{g\in GL(n,\mathbb{R})\};g^{t}g=I$

その複素数版がユニタリー群$U(n)=\{g\in GL(n,\mathbb{C})\};g^{*}g=I$（物理では$g^{\dagger}g$）だったが。

リー群の分類は、ルート系$\Phi$なる生成ベクターの鏡映配置によるものだった。。

鏡映配置は当然やみくもな回転などでなく、正則性を考慮した（回転、巡回）群の特徴を表すハズ。

平面の距離を変えない変換（ゲージ変換）を数学的には合同変換と言うらしい。

図形Kの合同変換全体は変換群というものをなすようだ。

正ｎ角形の変換群をｎ次の二面体群と言い$D_n$で表すそうな。

複素数を成分とするｎ次正方行列で逆行列を持つもの全体は、一般線型群$GL(n,\mathbb{C})$で、ベクトル空間$\mathbb{C}^n$に対する変換群となるんですな。。

そうか、ルート系$\Phi$なるルートベクターによる鏡映の合成は図形の回転になるのだ！( °Д°)ｸﾜｯ　

（二面体群などの）鏡映変換で表示出来る抽象群をコクセター群言うらしい。

来てます来てます。スカラー波来てます。(ロ_ロ )ｼﾒｼﾒ 

集合$X$から生成される自由群を$F$とし、$R$を$X$上の（言）語からなる集合とする。

このとき、$R$の閉包$N$による商群を$F=G/N$とする。

これを$G=\langle X \hspace{2pt}| \hspace{2pt} R \rangle$と表し、群の表示というそうな。(;´Д｀)/ﾔﾔｺｼｲ

$X$の元を生成元、$R$の元を基本関係といい、群$G$は生成元と基本関係によって与えられるという。。

位数2nの二面体群は$D_n=\langle r,f \hspace{2pt}| \hspace{2pt} r^n , f^2 , (rf)^2 \rangle$（$r$は回転、$f$は鏡映）と定義出来る。

コクセター群とは、このように生成元と基本関係から与えられる抽象群のことですぜとゆこと。

Ψಠﭛಠ＜◎＞　(；o_o) ＜●＞π 　(　 ) (　 )