ユニタリモナ道

テンソル積ってのは、ふたつのベクトル空間の積だと思えばいいんだね。

それぞれのベクトル空間には$n,\mathrm{m}$個の固有ベクターがあるのだから、積はその組合わせになるんだ。

二つのベクトル空間$V,W$の基底$e=\{e_1,e_2,\cdots,e_n\} \ , \ e'=\{e'_1,e'_2,\cdots,e'_n\}$の線形和って。

$\displaystyle \sum_{i,j} g_{ij} ( e_{i} \otimes e'_{j} )$と書けば、思いっきり既視感あるじゃん。

なんのことはない。　これが二階のテンソル（積）ってことなんだよ。

つまり、$\displaystyle \sum_{i,j} a_{i}b_{j} ( e_{i} \otimes e'_{j} )$の$a_{i}b_{j}$の組合わせを行列にしますたってこと。（値が既知とか言ってない。）

で、この例だと二階だけど無限次元とか考えられるわけで、要はテンソル積の直和$\oplus$で表せる。

それが双対の関係っての？　テンソル積と直和が入れ替え可能な関係式が生汁！m9(o_o)

で、これは外積の集合だからまったく別のベクトル空間が生成されるんだな。。

その新たな空間がK理論の対象、K上の自由線型空間$F(V,W)$というわけなのさ\(ﾟ`∀´ﾟ)/ｾｲｾｲ ｼﾞｪ~ﾑ

あれ？　Ｋってカーネル（関数）$K(x,y)$なんてことじゃないの？

つーことは、いわゆるヒルベルト空間のことじゃん！

はっ。生成空間は常に元のベクトルの部分を含むから”最強の位相”というわけかね。（ω・｡）ｸﾙｯ

なんか、基底ベクターへの射影の和が変わらん（恒等変換）てのが完全てことなんだな。

これは圏論におけるモナ道の恒等射ってことなんだ！　これが普遍性ってことかな。

（圏論における普遍性とは、同じ条件を満たすなら射が一意に存在して可換、ということらしいが。）

まぁ細かいことはともかく、久々にむっちゃくちゃ腑に落ちたような肝。

これは、銀河の衝突のように壮大な数学ドラマなのかもしれんな~。( -_-)

位相空間$X$上のK理論の群$K(X)$は、複素ベクトル$E$の同型類$[E]$の全体$VecBdl_{c}X$を生成系とする自由可換群に対して、完全列

$0\to A \to B \to C \to 0$

をもつすべてのベクトル束$A,B,C$に関して与えられるベクトル関係式

$[B]=[A]+[C]$として得られる商群である。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ウィキペーより抜粋一部加筆。）

この可換つうのもさ、一般には外積は順序的に$A\times B\neq -A \times B$だからじゃない。

これは物理的な空間等方性が、数学的（力学系）に対称になるから可換ってことだと思われ。

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 『数学こそ物理の本質だろう。

ヒルベルト空間の元は関数だ。
そのなにがしかの関数はテーラー級数によって”表現”出来る。

二関数の内積だがね。。　でも、表現したい関数はひとつだな。
複素関数がふたつの実関数（調和関数）だったことを思い出してごらん。
で、そのテーラー展開っていうのは、微分の線形和ではないのかね？

ここで、値の収束という問題が出てくるんだが。

コーシー列の差分が0というのは覚えていると思うがね。

これは必ず収束する条件として、強収束としよう。
一方、級数ベクターの列$(x_n,y) \to (x,y) :n \to \infty$を弱収束としよう。
$x_n - x \to x_n -x$なのだから、強収束は弱収束である。
必ず収束するなら、それが完備ということでバナッハ空間ということだよ。
そして、これが無限次元空間ということだ。

内積とはなんだ。　スカラーだ。　物理単位もない素量だ。
その単位が内積$\sqrt{(a,a)}$、すなわちノームなんだよ。

また物理をやりたいかね？』＜●＞π

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 ベクターとは自己関手の圏における単なるモノイド対象だよ♡　( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ　　(　 ) (　 ) ｼ~ﾝ

で、そこらへんの性質についての研究はホッジ理論というものに体系化されるようだ。

(；o_o) ＜●＞π 　(　 ) (　 )