完全線型独立系

先週、最後の方に、ようわからんながらもK理論を紐解くヒントになりそうなキーワードがいくつか。

同型類、生成系、自由可換群、完全列、商群といったものだ。

ま、いかにも数学という感じで、正直深入りもしたくはないのだが。。

まず、順番はともかく生成系というのはわりと簡単で。

$\mathrm{M}$の任意の元が$\displaystyle \sum a_{\lambda} (u_{\lambda})_{\lambda}$の形で書けるとき、$(u_{\lambda})_{\lambda}$を$\mathrm{M}$の生成系というらしい。

ちなみに、いわゆる基底というのが$(u_{\lambda})$になるようで、階数に注意ってことかね。

ここらへんは構造の科学の真骨頂なんだろうが、天下りはイクナイ。(・Ａ・)

そうか、これはラムダ式ともとれるんだ。。

それで、完全というのはそれが全体空間の位相的生成系になるとき言うそうで。

（距離よりも本質らしい）位相大事だよね。　大事だよな～。　大事に決まっとる！(ロ_ロ^)ｳﾝｳﾝｳﾝ

これは、いわゆるヒルベルト空間の（正規化された）１を分割したような系で、無限和の線形結合で表現出来るベクトル空間の部分空間のようである。

$\displaystyle \sum_{n} |n\rangle \langle n | = \hat{1}$てなことのようですが。(;´Д｀)ﾅﾝﾀﾞﾄ

このブログの最初の記事、ルジャ～～～ンドルがどうからかーたらというのも完全系なんですな。

どうやら（完全とは）正規直交系というのとイコールの概念のようですな。

既にしょっぱなから、デンジャラスKが示唆されとりますやん。(´ཀ`ｶﾞｸｯ

後になってからわかるんだけど、本当の意味ではわかる気がしない。。

ま、ディクロニウス研究員の領域ナンだろうから仕方あるまいよ。(ง・ิω・ิ)งｼｭ

で、群すなわちある規則をもった集合としてグルーピングした場合。

ある群$G$とその正規部分群$H$という関係が肝になるんですな。

ここらへんはモナドがどうの、準同型がどうのとうなされてたｗときに目にしたような。。

商集合$X/\sim = \{[x] \mid x \in X\}$は、同値関係（同値類）を生成しても群にはならない。

だが、$H$が正規部分群なら$G/H$は群（商群）になるんですな。

これは剰余類といって、要はサイクリックな巡回群てなものになっているものが0から始まり0に終わるというような図式の意味じゃないかな～。

要はそれが圏論的というか可換図式上の完全てことのようなんだがね。。

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『ふたつのパラメータが同一体上の線形空間に属するならば、写像（関数）は線型汎関数になる。
$V\times V\to R$という定義域の直積集合からの、体上の値域への写像として考えるということだね～。
片方の変数（ベクター）が０ならもう片方の変数との内積は常に０となる、ということは自明な解で。
退化というのは、変数がお互いに一次従属している（核に属している非自明な解をもつ）ということで、次元が減るということ。
非退化とは、変数がお互いに独立していることで、これが別々の線型性（双線型）だよね。

そもそも”基底”とは、ふたつのベクターで全てのベクターが表現出来るところから来ているのだ。
このような二変数の共役性は、表現行列の性質に影響するわけだね。
ちなみにベクター空間の次元と、$n$列ベクターの$n$が同じならば、それが同型というものだ。
ベクター空間の体次元は、核（定義域）の次元と像（値域）の次元を合わせたものになり、要はそれを双対な関係と言っている。』＜●＞π

ところで、二つの位相空間には強弱関係が成り立つそうな。

$(X,O_2)\subset (X,O_1)$ならば、$(X,O_1)$は$(X,O_2)$よりも強いそう。

では、最強の位相とは一体なんだろう？

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(；o_o) ＜●＞π 　(　 ) (　 )