時空光束ベクター
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『内積空間とは、”実数”$R$を定義域とした対称双線型ベクター写像$\langle g,f \rangle$があると言っているのだよ。
線素がうまく張り合わされたとき、それは元の空間（多様体）と同じものにならないだろうか？
それがベクターの束ということだ。
それが自明となるとき、多様体は平行化が可能ということになる。
ベクターの束$\pi_1:E_1\to X_1$からベクターの束$\pi_2:E_2\to X_2$への射は連続写像$f:E_1\to E_2$と$g:X_1\to X_2$の対であって、$g \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f$を満たす。
それが$\pi:$接ベクター束TM$\twoheadrightarrow$多様体Mということでは？
つまりは、この世は平行化可能なベクトル場ではないのかね？』＜●＞π
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上記のことを圏論で考えると、概要的にはわかりやすい。
ま、創始者風に言えば$E_1\to X_2$に移すような自然変換$\pi$があるだしょ！ということか（テキトー）
ここで$E$というのは位相空間、つまり開集合系だ。
連続写像とは、位相空間間の写像$f:E_1\to E_2$のことを言っている。
ベクター束$\pi$とは、空間$X$の各点$x$にベクトル空間$V(x)$を対応させたときに、それがうまく貼り合わされて、結局、もとの$X$と同じものになるということ。(;´Д｀)/
多様体$T_{X}\mathrm{M}$の場合もベクトル束で、接束というものになるんだね。
”接続”って、どっかで似た概念あったなぁと思ったら、”解析接続”ってことじゃね？
そういや”リーマン面”なんてものがあったな～。（ ￣-￣）
分野的にはともかく、元は繋がってる話だと思うけどね。
ベクトル束を（光）ファイバーとした滑らかな微分方程式が存在すれば、それが”接続（平行化）”しとる！( °Д°)ｸﾜｯ ってことナンでわ？
つまり、束の接続なんだ。
で、位相空間が多様体のときはアフィン接続となって$\displaystyle \sum_{k}\Gamma^{k}_{ij}\frac{\partial}{\partial x^{k}}$で、これが一次微分形式になるのだ。
いや、何次でも表現出来たんだな。。
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$\displaystyle \sum a_{ij}dx_i dx_j$という形で何次でも表現してやろーじゃねーの。
ということなんである。
これが線素、そして線素というウェッジ積の省略形で、線素の原点は多様体上の各点というベクトル場を形成するというわけだ。
この変換基底作用素$a_{ij}$が計量テンソルで、各点の接ベクトルの大きさを定めるものである。
$V$を$n$次元ベクトル空間とすると
$\omega : V \times V \times V \times \cdots \rightarrow R^n$てなことで、$K$個の積が$K$次の形式なのだ。。
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『二変数の話だから双線型になるだけで、高階ならば総線型、N-Gateでよかろう。
これがデンジャラスK（Vect-k）じゃないか。 これはK項の写像の積なのだ。』＜●＞π
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そうか、うかつであった。 この$k$こそvect-ｋ理論のkなんだ！！
位相空間$X$上のK理論の群$K(X)$は、複素ベクトル$E$の同型類$[E]$の全体$VecBdl_{c}X$を生成系とする自由可換群に対して、完全列
$0\to A \to B \to C \to 0$
をもつすべてのベクトル束$A,B,C$に関して与えられるベクトル関係式
$[B]=[A]+[C]$として得られる商群である。
（ウィキペーより抜粋一部加筆。）
(；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
