ひまわり

ディクロニウス文明来たる!! ( ・ิω・ิ)ナンノコッチャ  (  ) (  ) シ~ン

普通の空間よい空間

接続と言えば、これは一般的な数学概念のようだが、レヴィ・チビタ接続とかいうのはどういうことなんだ?というのを詰めよう。

 

さて、n次元多様体上の点$x\in \mathrm{M}$において、n次元の接ベクトル空間$T_{x}\mathrm{M}$が定まるのだったが。

このとき、M上の関数$f:\mathrm{M}\to \mathbb{R}$と接ベクトル$v \in T_{x}\mathrm{M}$によってv方向へのfの微分$vf_{x}$が定まるんだね。(;´Д`)/ヤヤコシイ

これは局所的にユークリッド空間の微分と見做せて。

ベクトル場全体を$\Gamma (T\mathrm {M})$として

$\nabla:\Gamma (T\mathrm {M}) \times \Gamma (T\mathrm {M}) \to \Gamma (T\mathrm {M})$

が接続であるとは、$C^{\infty}$を無限回微分可能(滑らか)として、$f \in C^{\infty}(\mathrm{M})$と$X_1,X_2\in \Gamma (T\mathrm{M})$に対し

  1. $\nabla_{fX_1}X_2=f \nabla_{X_1}X_2$
  2. $\nabla _{X_1}fX_2=(X_1f)X_2+f\nabla _{X_1}X_2$

ということで、これが昨日ちろっと言った”共変微分”というものになるのだが。。

ま、これは大域的な概念を表したような式というか定義なので、いささか実践的でない。

ベクトル場$X$は$\{X_1,X_2,\cdots X_n\}$というベクター集合なので、どんな$X_i$に対しても有効な微分、なんてあるわけないじゃない!

そこで補正項$\Gamma_{ij}^{k}$により$X_i$毎に対応させた関数にするのだが。

自由度が$\Gamma(T^{*}\mathrm{M}\otimes T^{*}\mathrm{M} \otimes T\mathrm{M})$だけあって唯一には定まらない。

そこで$T_X\mathrm{M}$の各点$x\in \mathrm{M}$に内積$g_X$が定まっていて、これが滑らかに繋がっているときにリーマン計量と言って、リーマン計量が定まってれば接続がただひとつに定まって、これがレヴィ・チビタ接続というもんなんだね。

その唯一に定まった接続があると、曲線の微分の仕方に対しまっすぐな測地線と言う概念が生汁。

その補正の仕方から、空間の曲率を割り出すことが出来るということなのだ。

--------------------------------------

内積が定義されたベクター空間とは、(μ,ν)=g(μ,ν)(\mu,\nu)=g(\mu,\nu)となる計量テンソルgが与えられた空間のことで。 それがユークリッド空間ということなのだ。

むちゃくちゃ普通の空間だね。』<●>π

--------------------------------------

(;o_o) <●>π  (  ) (  )