連結環群ベクター
連続写像というのを$\delta\varepsilon$で説明すると。
本当は$x+\delta,\varepsilon = f(x+\delta)$ということなのだろうが、簡単のため$\delta$をパラメータ、$\varepsilon$を関数にしよう。
要は、$\varepsilon_{\infty}(\delta_{\infty})\subset \varepsilon_{\infty-1}(\delta_{\infty-1})\cdots \subset \varepsilon_2( \delta_2) \subset \varepsilon_1( \delta_1)$
という系列がとれるということであり。
厳密に言えば、$\{ \delta_{x+1} \subset \epsilon_x (\delta_x) \}$が途中に入る。(からややこしくなり、精神衛生上悪いのだ!)
位相空間間なら連続写像は$O \in \mathfrak{O_{\epsilon}} \Rightarrow f^{-1}(O)\in \mathfrak{O_{\delta}}$ということらしい。
どうしてこうなるんだ?(;´Д`) と考えるに、位相空間には連続性が担保されているとしか言えまい。
位相空間とは、論理演算に閉じている開集合系だった。
ん?互いに素な集合ならば、開も閉もなく非連結でわ?(;´Д`)ヤバクネ?
あ、だから被覆という糊代(連結部分)があるという風にするわけか???
被覆定理は、集合がコンパクトなら有限個の被覆で覆えるという可能性に言及しているだけじゃん。
$O$の論理積が開集合系$\mathfrak{O}$に属すとは、互に素でない部分を持つのが(位相空間の)条件てこと?
違うな。だから$\varnothing$(空集合)は開集合系に含まれるよ~と最初に定義されておったのだ。
そうか、コンパクトの定義は部分集合族の論理和で、それが被覆だした。。(◎◎;)(錯乱)
それ(開被覆)って、$\delta \varepsilon$の$\varepsilon$近傍なんだ!
ある点の近所がどこかの近所と交わってりゃ連結でいいじゃん、みたいな。
やっと記事近傍が繋がったぞ!(´ཀ`ガクッ
ちなコンパクトというのは、言ってみれば幾何学的な閉集合性なんだな。
つまり、連結がループを形成汁m9(o_o) ということで”有限”なんですな。
したがって、論理演算に対して閉じている開集合族、すなわち位相空間が図形的に閉じておる(コンパクト)てな物言いになったりするのだ。(;´Д`)/ヤヤコシイ
それが、数直線と多様体との違いなんだろう。
コンパクトなら無限大については考えんでエエのだ!\(゚`∀´゚)/ユウゲン ジェ~ム o(ФAФo)
そうか、数学者がこだわるワケがわかったよ。。
ところで、これらには距離とか大きさなんて概念はない。
たとえば$\mathfrak{B}=${$\varnothing$,日本,アメリカ,中国,日中,米中,日米,日米中}なんてことでもいいわけだ。
『実はベクターもそうナンだがな。気付かんか。。
ベクターは元の演算(加法、乗法)が成り立てばいいんであって。
距離のようなものを定義したかったら$\|x\|:=\sqrt{\langle x,x \rangle}$などとして
”任意の内積”で測った大きさをベクターのノームとするわけだが。』<●>π
へ? そゆこと?( ;°Д°) まるで$\mathfrak{B}$集合族のよい性質$\mathfrak{P}(X)$そのものじゃないの。
『そう。そしてその距離空間が完備なら、任意の点列は極限を持つというわけだ。』<●>π
(;o_o) <●>π ( ) ( )