対角線上の時空

で、話戻すと$\displaystyle \sum_\mu \sum_\nu g_{\mu \nu} ds^{\mu} ds^{\nu}$が二次のリーマン計量とやらの”微分形式”なんだよね？

そうそう。添え字の上下で共変、反変を表して、互に組み合わせると辻褄が合うんだったっけな。。

線素ベクターは計量テンソルに反変だから、共変基底の内積を取るという理解でいいのか？(;´Д｀)

どのみち、錯乱しそうだが。。

 $\mu,\nu$ってのは微分幾何学において図形情報（基本量）という素量で、いかなる曲面も形状記憶されると。

要は線素$ds$の位置ベクター$ds^2=\sqrt{ds_{x}^{2}+ds_{y}^{2}+ds_{z}^{2}}$の極座標版である角度パラメータね。

$ds_{\mu} ds_{\nu}$は$ds_{\mu} \land ds_{\nu}$（ウェッジ積）の省略形なので、結局ウェッジ積って何？

外積代数とか言われてるようだが、これクロス記号を外積と勘違いしてるんじゃなくて？

だって外積だったら、結果の置き場所に新たな直交軸増えちゃうだろ。（演算定義バグ！m9(o_o)）

まぁ置き場所はともかく、ウェッジ積は（分解線素の張る）微小面積ですおでおｋ、なのか。。

積分は面積を意味するのだから、これ曲面の面積を知りたい（計量汁）場合ってことだよね？

ま、目的はパーソナルなものだから、俺はそうしたかったんだよ！( °Д°)ｸﾜｯ　と言われりゃそれまでか。

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『内積が定義されたベクター空間とは、$(\mu,\nu)=g(\mu,\nu)$となる計量テンソルgが与えられた空間のことで。 それがユークリッド空間ということなのだ。

むちゃくちゃ普通の空間だね。』＜●＞π

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ん？　やっぱ”内積”ナン？

あらためて、、意味わからんわ～～～～～！！！щ(°д°щ)

アカン。 もうここらへんは、俺には堂々巡りだ。

そうか、線素はテンソルによって変化する”ベクター”ゆえに外積。

テンソルは（各角度の）変化率なのだから”スカラー”ゆえに内積でおｋ？

でも、（地球人類的には）非ユークリッド幾何学とかなんとか言われてたとも思うが。

ま、ややこしくなるので、この際相対論は無関係だと思いたし(;´Д｀)

『ベクター$e_i$⨂$e_j$で、

$i=j$ ならば $e_i$⨂$e_j=1$

$i\neq j$ ならば $e_i$⨂$e_j=0$

ということにすれば、ウェッジ積（外積）は結局、内積になるのでは？』＜●＞π

(；o_o) ＜●＞π 　(　 ) (　 )