時空体上の微分作用素圏
いままでモヤモヤしてきた視界が一気に（かどうか知らんが）開ける予感が汁。
そもそも幾何学というのは、モヤモヤしているイメージを（強引に）可視化する理解の補助輪である。
具体的な計算対象などが明快になれば、お役目御免となる定めなのだろう。
（そんなことを言いだせば、数学科も数学の先生も同様になるが。）
そもそも、それは線素（関数の微分における特殊解）の連結が各点のベクター（ベクトル場）計算となり、それってどうすれば？( * )Д`)/という数学としては当たりマイ命題（？）があるハズであった。
多様体上の関数$f(x,y,z)\in R$を0次（微分形式）とすると。
$\displaystyle df=\left( \frac{\partial f}{\partial x}\right) dx + \left( \frac{\partial f}{\partial y}\right) dy + \left( \frac{\partial f}{\partial z}\right) dz$が一次微分形式。( * )Д`)/ｳｻﾞ
まぁ、これはナブラ$\nabla$ってやつの中身で全微分と呼ばれるものだ。
この世（三次元）で微分してやろーなんて思ったら必然的にこうなる。
よって、微分形式自体は別にトリッキーでもなんでもないね。
でわ、$df$の微分。つまり二次微分はどうしたらいいでしょうか？
もう一次でも心折られるのにぃ～と数学バカにはついていけんと辟易しそうであるが。
数学とは（ナマケモノによる）虫のいい計算方法論のことである。
そうするためには、計算の本質を掴まねばならない。
$\displaystyle \sum a_{ij}dx_i dx_j$という形で何次でも表現してやろーじゃねーの。
ということなんである。
これが線素、そして線素というウェッジ積の省略形で、線素の原点は多様体上の各点というベクトル場を形成するというわけだ。
この変換基底作用素$a_{ij}$が計量テンソルで、各点の接ベクトルの大きさを定めるものである。
$V$を$n$次元ベクトル空間とすると
$\omega : V \times V \times V \times \cdots \rightarrow R^n$てなことで、$K$個の積が$K$次の形式なのだ。。
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『二変数の話だから双線型になるだけで、高階ならば総線型、N-Gateでよかろう。
これがデンジャラスK（Vect-k）じゃないか。 これはK項の写像の積なのだ。』＜●＞π
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『線素がうまく張り合わされたとき、それは元の空間（多様体）と同じものにならないだろうか？
それがベクターの束ということだ。
それが自明となるとき、多様体は平行化が可能ということになる。
ベクターの束$\pi_1:E_1\to X_1$からベクターの束$\pi_2:E_2\to X_2$への射は連続写像$f:E_1\to E_2$と$g:X_1\to X_2$の対であって、$g \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f$を満たす。
それが$\pi:$接ベクター束TM$\twoheadrightarrow$多様体Mということでは？』＜●＞π
正確には、接ベクトルの双対空間なんだな。。（余接ベクトル( * )Д`)/ｱｱ）
う～ん。どうやら、これは方向微分の接空間への射影が共変微分となって（アフィン）接続が出来るなどということが元にある計算可能性論理ぃのようですが。。(;´Д｀)/ﾔﾔｺｼｲ
（そこまでやってないし、いきなり”圏論命題”になってるし！！！）
要するに、ベクトル”場”になると各点がそれぞれ別の（原点を持つ）ベクトル空間になってまう。
”解析接続的な手品”はなんかないと、具体的な計算上困るわけです。（だが断る！）
ところで、ポアンカレの単連結の閉体という”表現”には気をつけるべきだった。
単連結とはトポロジー的に一点に収縮出来る多様体で、$d\omega =0$となる微分形式$\omega$が閉形式なのだね。
ちなみに、ガトー微分は方向微分の、フレシェ微分可能は全微分可能の一般化なんですな。
宇宙のすべては（呆れるほどに）ベクターに繋がっている道なのだ。。
(；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
