変分ハミルトニアン
汎関数は関数の関数であるが、変分と微分の違いをおさえておこうズ。
微分は$y=f(x)$の$x$をちょこっと動かしたときに$y$の動く分、というのが変化率ってことだよね?
ちょっとベタな文章っつうのがアレですがw、定義はパッと見難しく感じてしまうので。。
で、汎関数の変分は関数をちょっと動かすってことだから、$x + \varepsilon$のようにはいかない。
どうする?( ・ω・`)
結論から言うと、元ネタの関数形は$f$と決まっているので、$f+ \varepsilon g$となるんですな。(`・ω・´)ゞ
で、$\varepsilon$を限りなく$0$に近づけた極限ということで、$\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{L(f+\varepsilon g)-L(f)}{\varepsilon}$が(汎関数の)変分。
$\varepsilon$が実数で、$g$は関数ですね。
いつぞや、微分にも種類があるということをほのめかしていたが。。四元立国
上式の変分の極限値がある場合、それを$L$の$f$における$g$方向のガトー微分と言うんだね。(;´Д`)/ヤヤコシイ
教科書的には、関数と言えばわかりやすい型で$y=f(x)$などとするケースがほとんどだが。
微分を本当に使えるようにするには、このような一般化、拡張を考える必要があるんですな。
これで微分が関数空間にまで適用可能になった。
ところで、ガトー微分は線型とは限らないんだな。。(ω・。)ナヌッ
ガトー微分のうち線型なものをフレシェ微分というようだが。。フレシェ微分 - Wikipedia
ルベ~~~ルグエイロ等もそうであるが、どのみち数式にはラベリングがなされとるワケでもあるまい。
いわゆる変分問題というのは、$\displaystyle I=\int_{x_1}^{x_2}F(x,y(x),y'(x))dx$の値を最小とするってなことですが。
これにはオイラーの方程式というものがあって、$\displaystyle \frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial y'}\bigg)-\frac{\partial F}{\partial y}=0$ということナンですな。
変形すると$\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}=\frac{d}{dx}\bigg(\frac{\partial F}{\partial y'}\bigg)$という関係性が見てとれて、思いのほかシンプルではある。
ちなみに、どうしてこういう問題が出て来たのかは知っとるデ。
二点間を結ぶ曲線のうち、どの経路で滑っていくのが最速か、という軌道問題や。
ある媒質を通過する光はどの道(経路)を辿るのかってな問題が変分問題なんですな。
そこから最小作用の原理なる、自然特性としての法則性が確認されたワケだ。
数学と物理がピタっと一致する、無駄に輝かしい成果wと言えるだろう。
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