極限ハミルトニアン

平均値の定理というのは、いろんなバージョンがあって重要らしい。

もっとも基本的なものはロルの定理というもので、

「関数$f(x)$が閉区間$[a,b]$で連続、開区間$(a,b)$で微分可能であり、$f(a)=f(b)=0$ならば

$f'(c)=0 \ (a<c<b)$となる点$c$が$(a,b)$に少なくともひとつは存在汁」というもの。

おまえは一体なにが言いたいんだぁ~~~~~！( * )Д`)/ｱｱ　って感じだが。。

連続関数の微分可能な二点間には導関数が存在汁って言ってみただけ。( ・ิω・ิ)　　(　 ) (　 ) ｼ~ﾝ

当たり前じゃない、と馬鹿馬鹿しくなってしまうのが悪いクセなのだが、こんなものをワザワザ定理と呼んでいること自体に意味があると”読む”べきなのだ、とは後天的な経験的ひまわり感性である。

これは$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ってなる$c$がありまっせということであり。

これがテーラー展開$f(b)=f(a)+(b-a)f'(c)$という数秘黒魔術の出所だったのだ。

いや、これは一回微分しただけだから、無限階の微分わ$\displaystyle \frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(c)$の無限和となる。

つまり、至るところ微分可能ならば、線素の連接で関数の置き換え表現出来んじゃね？とゆこと。

さて、積分のような単調増加では無限大に発散してしまうのでわ、と思うが？？

シグモイドのように$1$に漸近していくとはどういう仕組みなんだ？

そうか、増加分が限りなく$0$に近づくということか。。

収束の概念は数列間の差分が0となるいわゆるコーシー列というやつだった。

しかし、自然制御などでは数列間の関係性（漸化式）は解けるとも限らん。

だが、$x_{n+1}=f(x_n)$の数列$x_n$の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n$も平均値の定理から求まるという。

極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$とは任意の$\epsilon$に対し、$|a_n-\alpha|<\epsilon$が成立することである。

$x=f(x)$の解を$\alpha$とすると、$\alpha=f(\alpha)$

$\displaystyle \theta=\frac{c-b}{b-a}$とおくと$0<\theta<1$、$x=a_1,y=\alpha$として、$|a_n -\alpha|\leqq \theta|a_{n-1} -\alpha|$が成り立つらしい。

（なぜ成り立つのかは宿題と汁。）

これを順次展開していくと、$\displaystyle 0\leqq |a_n -\alpha| \leqq \theta |a_{n-1} -\alpha| \cdots \leqq \theta^n |a -\alpha|$ということに。。

こうなると、同じ極限（0）が存在する中間はやはり同じ極限が存在するというだましうちはさみうちの定理から$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha$が証明されるという！\(ﾟ`∀´ﾟ)/ｷｮｸｹﾞﾝ ｼﾞｪ~ﾑ

このプロセスの可視化が、以前カオスのリターンマップで見た漸化式の解の振る舞いだったのだ。