直交ハミルトニアン

ここから忽然と飛んできました。（正直、はてなブログにとっていい迷惑か。。）

さて、直交多項式なんてのも踏み込んでおいた方がいいんだろうね。
ちいと面倒だけど、イミフなままだと微分方程式が示す世の法則性の本質的議論に支障が出るのもつまらんことである。
苦手だったり避けたりしたものは、クリアするまで何度でも鼻先に突きつけられて来るのだ。（ソレナ）
ある$n$次元のベクター$x_n$があった場合、$\displaystyle y_1=\frac{x_1}{\|x_1\|} \ , \ y_2=\frac{x_2-(y_1,x_2)y_1}{ \| x_2-(y_1,x_2)y_1\|} \ , \ \cdots$てな具合に互いに直交化出来るのだが。
分母をノームにしてるのは、固有ベクターの長さが１になるようにしてるだけなので、結局”直交化”の肝はそこじゃない。

記号がワケわからんが（数学オンチとはつまりそれである）、$(y_1,x_2)y_1$というのは$x_2$ベクターを$x_1$軸上に垂らした垂線である。
つまり$x_2$ベクターとの差分はベクターを直交分解したもうひとつの垂線になるハズ。
このようにして、$n$次元の各ベクターを順次相対的に直交し直汁というのが線形代数のグラム・シュミットの直交化である。
それを一般化すれば $\displaystyle y_k = \frac{x_k - \sum _ {i = 1} ^{k - 1}(y_i , x_k) y_i}{ \| x_k - \sum_{i = 1}^{k - 1}(y_i , x_k)y_i \| }$ となり、これがルジャンドル関数である。
これは積分型なので、結局微分形式の逆演算として等価ということである。
要は、それを被積分関数（関数空間の内積）の正規化重み$P_n(x)dx$とする生成多項式がルジャンドルの直交多項式なのである。
この多項式の解はロドリークの公式$\displaystyle P_n=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{d^n}{dx^{n}}(n-1)^2$なるもので表せる。
てなことを一度でも理解せんと、言葉や数式がベクタリアン定跡として出て来た時に、ア～ア(´ཀ`ｶﾞｸｯ　となってまうんですな。
（説明するのが面倒い、又は出来んので忽然と登場してしまう、てな”事情”もあると思われ。）
ちな、量子力学でのルジャンドル多項式とはディングレ角運動量の固有関数だした。。（今更乙！ｗ）

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『これ（無限回（？）微分作用素）は線型だろう？

では、この確率変数や確率密度関数を、一体どう関連づけて理解すればよいのだね？
確率変数はある区間の積分で、それが全体で１に正規化されるとかいう話ではないか？
そして、この二変数はそもそも双線型な関係にある、のか？？ということなんだが。
当然、双線型とはなんぞやってのがちゃんと定義されてないと、照らし合わせる基準がないということにはなるがね。

これがデンジャラスKじゃないか。 これはK項の写像の積なのだ。』＜●＞π
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なんとなく、何を言われてたんだか薄々理解出来てきました。(ロ_ロ )ｼｶﾘｼｶﾘ ｲﾅｲﾅ
(；o_o) ＜●＞π 　(　 ) (　 )