情報量単純化数術
数学界の情報量は多い。 全数学をカバー出来る数学者など昨今、地上に存在しないらしい。
有限群の分類定理は100人以上の数学者が50年もの歳月を費やし、15000ページ以上の証明を与えたものであるという。。
情報量も積もれば（ただの）情報となる。
それは情報量の中から更に高い情報量を製精する技術の必要性に繋がる。
一言で言えば、それは単純化能とでもいうべきものに集約されていくだろう。
まぁ物事の本質を見抜く目というか個人的才能だね。 これが重要になってくる。
現代数学は、数学そのものを対象とすることが喫緊のテーマと言えよう。
普通の線形、すなわち一次式の単純増加とかで、元が演算に対して閉じとるなどというのはおかしい。
有限だコンパクトだ、なんて概念はここまで来れば自然に起こってくるものだったのだね。
群をナスなら、それはルーピーな輪っか構造をもっているハズでしょーがっ！( °Д°)ｸﾜｯ
すなわち、それが環（リング＝持続可能な数格闘場！）(ง・ิω・ิ)ง であり、両者は完全に一致汁！
（つまり、群環体などという区別に科学的根拠はなく、まったく”海賊男的迷信”なのである。）
ところで、任意の閉ループが（基本）群の性質を満たしておるナドと言えるのか？という疑問が。
積分経路的に閉じておるのはなんとなくわかるとしても。
単位元とか逆元とかなければ群と言えなかったハズ。。
ここで単位元をホモトピックなループ同士の演算とすれば、なにやらそれっぽくなる模様。
つまり$f_0,f_1$が同じ基点を持つ別ループだとしたら$f_0\cdot f_1=f_0$などと言えそうだ。採用！m9(o_o)
ホモトピックなループを元に持つのが必須条件にはなるが、ま、それで問題なかろう。
では逆元は？
ん？上記から$f_0\cdot f_0^{-1}=f_1$と言えるのか。。
このカップリング前提がいささか足枷気味だが、位相同型群という一網打尽性モナドは捨てがたい。
ちな、基本群の積は $\displaystyle (f_0 * f_1) = \begin{cases} f_0(2t) & 0 \leq t \leq \frac{1}{2} \\ f_1(2t-1) & \frac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases} $ なんてことに。。(;´Д｀)/ﾔﾔｺｼｲ
積とは、つくづく俺様的約束事予定調和世界線なんですな。(ロ_ロ )ｼｶﾘｼｶﾘ ｲﾅｲﾅ
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『ベクターに距離などという概念はない。』＜●＞π
( °Д°)ﾅﾝﾃﾞｽﾄ
欲しけりゃ内積でノームを定義汁（距離を導入）
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本当にそうなってて笑ったンゴ。
とにかく、これが俺様世界楕円曲線をなして完全、well-definedというわけナンである。＜◎＞
$x\in X$を基点とするすべてのホモトピー類の集合とその積が、点$x$における$X$の基本群$\pi(X,x)$をなす！( °Д°)ｸﾜｯ と定義出来るわけですな。。
基本群はさらに弧状連結空間上における基点に差異はなく、$\pi(X)$と表現出来る。。本採用！m9(o_o)
ちな、基本群とは数格闘場にて400戦無敗とも言われるポアンカレ氏の考案だそうな。
ガチの数格闘技者とはなにかを思い知らされる思いである。。(ง・ิω・ิ)ง
これが来たるディクロニウス文明の序章に過ぎないことを、地球人類は知る由もないのであった。
＜◎＞ (；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
数学零園ループ道
お盆に突入したが、ウチは既に仏さん（親父）が居るので、特に新盆という形はとらないことにする。
ま、お供え物は今回おふくろメインになりますが。 猫の動画でも見てマッタリしますか。
さて、なまじクーラー効かした部屋から出れない感じで、数学やろうと思えばできちゃうが。
リー群に関してはあくまでも個人的な興味ということで、夏休みの自由課題ってかんじですかね。
それにしても、リー群もそうだが群てむちゃくちゃ種類あるよね。
それは草木の種類がいっぱいあることを知るのに似ている。
演算に対して閉じている、なんてのはお約束の世界では当たり前であって普通は意識することはない。
言わばこれは自然演算であり、コンパクトな群とは”盆栽”や”ガーデニング”のような表現世界かな。
自分の（箱）庭で数学の世界を育ててみたい、とか飼ってみたいなんて感情に通じるものがあるような。
群論にはどこかジジくさい風流さを感じるモン。（いい意味で。）
だから学ぶのもいいけど、自分で手掛けてみなきゃ本当の価値も出てこないんだろうな。
数を愛でる世界における、単射という無味乾燥かつ機能的な概念は、”忠実である”という形容詞になる。
これは圏内の飼い猫を”可愛い”などと言うのと同じこと。
科学の本質にとってはどうでもいいことかもしれんが、魂にとって表現とは大切なもの。
余計な概念増やすんじゃねぇ、たかが数畜生共の辛気臭い集いに！( °Д°)
などと毒づいているようじゃ、まだまだ数学闘魂貧乏ということかもしれんな。( -_-)
霊に始まり零に終わる。 これが数格闘道場訓！( °Д°)ｸﾜｯ
数格闘道の王道にモナ道があるが。。
数学において、そもそも”道”とは単位閉区間$I=[0.1]$からの連続写像のことを指すという。(ง・ิω・ิ)ง
「この道をいけばどうなるものか。 危ぶむなかれ。 危ぶめば道はなし。
踏み出せば その一足が道となり その一足が道となる。
迷わず逝けよ 逝けばわかるさ。」アントニオ猪木
位相空間$X$内の点$x\in X$を基点とする閉道（ループ）とは、$x$と$x$を結ぶ道である。
閉道（ループ）は単位円$S^1\to X$と同相である。
トポロジストとはドーナツとコーヒーカップの区別がつかない者である、などと揶揄する向きもあるが。
ここに基本群なる、位相的な群分類の可能性が生汁。 採用！m9(o_o)
道のホモトピーは、端点を固定した連続変形概念を明確に定義したという。
$f_t(0):=x_0$ は $t$ によらず一定。すなわち道 $f_0,f_1$ はホモトピックである、と。
これはテキトーな手書き図式が厳密に式であるという圏論、すなわちモナ道に通汁道！( °Д°)ｸﾜｯ
道は合成も出来る。 これが総合数格闘道のルートである！
ロープ（ループ）から返るのは、全ての数格闘技はプロレス道に帰依するという忠実表現！(ง・ิω・ิ)ง
ピラミッド台上のプロビデンスの目。 アカンやつや。。
これが来たるディクロニウス文明の序章に過ぎないことを、地球人類は知る由もないのであった。
(；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
鏡映回転関係表示
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『近代の科学技術の発展が、地球人類によってもたらされたとでも？』＜●＞π
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どうやらリー群はただの行列というフロッピーなものでなく、多様体と不可分の存在みたいだ。
プログラミングが設計の下流段階であるように、方法論（表現）は最後の手段だ。
それも複素数ということで、二次拡大の代数的閉体とやらになるのかな。
その数学的実体がリーマン面とかいうやつなんだな。
$X$を多様体、これを連結なハウスドルフ空間などと言ったりもするようだが、実数直線のような連続性と分離性を両立させているというのが、まさに多様体の定義に感動したところだ。
これに座標近傍系$A$というのが与えられた$(X,A)$をリーマン面いうんだね。
何がうれしいのかというと、この上で正則関数が定義出来るということなんだな。
正則ってのは領域内のどの点でも微分可能な複素関数で、正則ならば何回でも微分可能だから、これは$C^{\infty}$写像ってもんになる。
これが、リー微分なる都市伝説に繋がる道なわけだ。。
ところで、直交群は$O(n)=\{g\in GL(n,\mathbb{R})\};g^{t}g=I$
その複素数版がユニタリー群$U(n)=\{g\in GL(n,\mathbb{C})\};g^{*}g=I$（物理では$g^{\dagger}g$）だったが。
リー群の分類は、ルート系$\Phi$なる生成ベクターの鏡映配置によるものだった。。
鏡映配置は当然やみくもな回転などでなく、正則性を考慮した（回転、巡回）群の特徴を表すハズ。
平面の距離を変えない変換（ゲージ変換）を数学的には合同変換と言うらしい。
図形Kの合同変換全体は変換群というものをなすようだ。
正ｎ角形の変換群をｎ次の二面体群と言い$D_n$で表すそうな。
複素数を成分とするｎ次正方行列で逆行列を持つもの全体は、一般線型群$GL(n,\mathbb{C})$で、ベクトル空間$\mathbb{C}^n$に対する変換群となるんですな。。
そうか、ルート系$\Phi$なるルートベクターによる鏡映の合成は図形の回転になるのだ！( °Д°)ｸﾜｯ
（二面体群などの）鏡映変換で表示出来る抽象群をコクセター群言うらしい。
来てます来てます。スカラー波来てます。(ロ_ロ )ｼﾒｼﾒ
集合$X$から生成される自由群を$F$とし、$R$を$X$上の（言）語からなる集合とする。
このとき、$R$の閉包$N$による商群を$F=G/N$とする。
これを$G=\langle X \hspace{2pt}| \hspace{2pt} R \rangle$と表し、群の表示というそうな。(;´Д｀)/ﾔﾔｺｼｲ
$X$の元を生成元、$R$の元を基本関係といい、群$G$は生成元と基本関係によって与えられるという。。
位数2nの二面体群は$D_n=\langle r,f \hspace{2pt}| \hspace{2pt} r^n , f^2 , (rf)^2 \rangle$（$r$は回転、$f$は鏡映）と定義出来る。
コクセター群とは、このように生成元と基本関係から与えられる抽象群のことですぜとゆこと。
Ψಠﭛಠ＜◎＞ (；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
ゲージデスマッチ
ちょっと見方を変えて。 というか、変わらないんだけどリー群の物理背景的なことを。
俺様計量を不変に汁、というのは電磁気学のローレンツ条件というのが発端なんですな。
どうりで厳めしいというか、難しいワケだ。
まぁ一般性という意味では（一見）脇の話ナンで、なるべくサクッと逝きたいと思うのだが。。
$\displaystyle E=-\nabla \phi - \frac{\partial A}{\partial t}$
$B=\nabla \times A$
ということで細かいことはともかく、$E,B$というのが電場、磁場という物理ベクトル場の理論。
ここで肝となるのはスカラー関数$\phi$とベクトル関数$A$である。
それぞれ $\displaystyle \phi' = \phi + \frac{\partial f}{\partial t}\hspace{5pt},\hspace{5pt}A'=A + \nabla f$の自由度があり、不定性を持つ。
この組が電磁ポテンシャルで、ゲージ変換に相当する部分なんだな。
電子は電荷という電気素量、ポテンシャルを持つことが確認されている素粒子であるが、それは電子の波動運動の角運動量積分値が保存量になっとるハズ。＜◎＞
これは相対運動量保存理論や～\(ﾟ`∀´ﾟ)/ﾍﾝｶﾝ ｼﾞｪ~ﾑ
てなわけで、ローレンツ（積分）因子なる変換則テンソルが適用された（ベクトル）場がゲージ場で。
さらに（物理）素量の整数倍になっとる、というのが量子ゲージ場である。
そんなんが、素粒子研究の数格闘場ということなんである。(ง・ิω・ิ)ง
てか、量子ゲージ場自体が素粒子の変換群をなす素粒子そのものだというね。。（ゲージ粒子）( * )Д`)/ｱｱ
ここで初心（？）に返らなければならんのが、量子とはなんらかの素量があれば、それを持つ粒子群の単体がおると見做そうズという、なんちゃって粒子概念である。
ゲージ粒子はゲージ場の量子量であり、それはゲージ場の生成子から決定される値なんだね。
リー群の出番ですゼ。(ロ_ロ )ｼﾒｼﾒ
それと、弱い作用などと呼ばれる基本的な力とされるものとの相互作用は$SU(2)$の三つの生成子。
クォーク、グルーオンなどと呼ばれる強い作用は$SU(3)$の八つの生成子からなるとされるそうな。
ちなみに、ゲージ理論は４次元においてエキゾチック$R^4$上の微分なる全く新たな微分構造の発見に繋がっており、数学界からもマニアックな関心を寄せられておるそうな。。
なるほどわからん。(눈_눈) 彡ﾋﾟｭｰ
Ψಠﭛಠ＜◎＞ (；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
田園都市線型代数的
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群だけでもようわからんのに、環やら体など出てきよった。(´ཀ`ｶﾞｸｯ っとなりがちだが。。（俺か）
これ、代数系を分類したいだけの概念なんだね。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ ( ) ( ) ｼ~ﾝ
だから、ごく普通の四則演算が出来るエデンの園に住んでいればどうでもいいこと、である。
（てか、四則演算すらしないですけどねｗ）
実際、数学者以外はまず気にしないでしょう。
だが、これは”自然数の加算だけを作り給うた神”に逆らって、ｘｘ代数などとちょこざいな俺様ワールドを作って傲慢になった地球人類に対する懲罰的”代数税”なのである。( * )Д`)/ｱｱ
群 $\subset$ 可換群 $\subset$ 環 $\subset$ 可換環 $\subset$ 整域 $\subset$ 体
これが数格闘技結社の設定した、カッバーラゲマトリア数術ヒエラルキー（階級）である。
群（group）とは、数学支配層がいいようにこきつかえる数畜のこと。
これは加法に対し閉じており、（加法ではあたりまえに成り立つ）結合法則を満たし、加法に対する単位元と逆元を持つもの。
これにより、持続可能な数畜ワールドが構成出来る。 以下、これを満たすことと汁。
環（ring）とは、数学支配層によりガチンコに耐えうる数格闘指向性にあると選ばれしもの。
これは乗法に対し閉じており、（乗法ではあたりまえに成り立つ）分配法則を満たすもの。
これにより、代数化可能な数畜ワールドが構成出来る。 以下、これを満たすことと汁。
（ちなみに乗法とはｎ回の加法であり、群と環の区別などまったくの数学茶番論としか言えまい。
そんなもんと真のガチ科学とはなんの関係もない。全数学者からの反論を受け付ける！m9(o_o)）
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距離とか内積というのがイマイチわからないのは、そんな概念ないからだね。
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整域（integral domain）とは、数学支配層により互いに素な数の線形和で表せると選ばれしもの。
これは乗数に対する単位元を持ち、零因子（$ax=0$となるような$x=0$）を持たない。
これにより、代数方程式化が可能な数畜ワールドが構成出来る。 以下、これを満たすことと汁。
体（körper）とは、数学支配層によりどこまでも演算の自由が与えられた選ばれしもの。
これは乗法に対する逆元を持ち、乗法に対して群をなす。これが閉体（＝数格闘兵隊）とゆこと。
これにより、持続可能な０除算を除く数畜ワールドの四則演算が出来る。
つまり、我々は代数系システマの創造主で、数格闘場を支配する権限を有するもの也、と。＜●＞
それ以来、地球人類は神の定めし自然数の加算しか知らないことを恥ずかしく思うようになり。
ついにはエデンの園圏から追放された。（貧しくなってますやん。。ソレナ）
Ψಠﭛಠ (；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
