並行反世界線モナ道
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『内積空間とは、”実数”$R$を定義域とした対称双線型ベクター写像$\langle g,f \rangle$があると言っているのだよ。
線素がうまく張り合わされたとき、それは元の空間（多様体）と同じものにならないだろうか？
それがベクターの束ということだ。
それが自明となるとき、多様体は平行化が可能ということになる。
ベクターの束$\pi_1:E_1\to X_1$からベクターの束$\pi_2:E_2\to X_2$への射は連続写像$f:E_1\to E_2$と$g:X_1\to X_2$の対であって、$g \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f$を満たす。
それが$\pi:$接ベクター束TM$\twoheadrightarrow$多様体Mということでは？』＜●＞π
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結局、（線素ベクターの）接続とは、多様体M上のベクトル場Xの各点$x_i$（局所座標系などと言うらしい）について、Xに沿った関数fの微分（方向微分）によって、接空間$T_p(M)$（$p$はある一点）の双対空間$Y$を微分汁！m9(o_o) などという流れになるのだね。(;´Д｀)/
方向微分$\displaystyle \nabla _X f=X^i\frac{\partial f}{\partial x_{i}}$とは、関数が（ある点で）微分可能なとき、任意のベクターによる方向微分が存在汁と言ってるようなもので、圏論的には自然変換のようなもので、それが射影ってことかな。
$\exists g=\nabla f\cdot X=T^{*}_{p}(M)$？ってな認識なんですけど、これは合ってるかわからんが。
そうすると微分係数の大きさに依存する量なんだから、それが”共変”微分ってことで。
次元分の添え字つきのクリストッフェル記号（$\Gamma$）で表す各方向微分係数で微分形式を連結汁( * )Д`)/ｱｱ
ってなアタリをつけてから何かで確認してみれば、どのみちそれなりに理解出来るでしょう。
てことで、コピペ坊のような情報量を薄めるようなことは敢えてグダグダ書かず。。
自然変換と言えば、結局始対象から終対象への合成関数パス$\nabla _X (fg)=g \nabla _X f + f\nabla _X g$が存在汁ということで。
ライプニッツと言えば、、モナ道創始者である！！( °Д°)ｸﾜｯ
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「合成汁と逝って返ってくるんだから何もしない、これが恒等射ってやつじゃん。
単位元$I_x$があって、二項演算$\xi_1 \times \xi_2$があると。これがモノイドやないすか。
モナドは単なる自己関手の圏におけるモノイド対象だよ♡ ( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ ( ) ( ) ｼ~ﾝ って。。
（A monad is just a monoid in the category of endofunctors, what's the problem?）
モナ道やないすかっ！( °Д°)ｸﾜｯ フッフォッフォッフォッフォッ。(V)o￥o(V)」
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ちなみに、上記は$g$が$f$の逆射だったらというパターンではあるが。。
逆射というのは全単射を意味してるんだろうか？（要確認）
それが準同型、線型写像ということなのだろうか？
線型圏（？）vect-Kってのが研究対象ってのはわかるような。
(；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
対角線上の時空
で、話戻すと$\displaystyle \sum_\mu \sum_\nu g_{\mu \nu} ds^{\mu} ds^{\nu}$が二次のリーマン計量とやらの”微分形式”なんだよね？
そうそう。添え字の上下で共変、反変を表して、互に組み合わせると辻褄が合うんだったっけな。。
線素ベクターは計量テンソルに反変だから、共変基底の内積を取るという理解でいいのか？(;´Д｀)
どのみち、錯乱しそうだが。。
$\mu,\nu$ってのは微分幾何学において図形情報（基本量）という素量で、いかなる曲面も形状記憶されると。
要は線素$ds$の位置ベクター$ds^2=\sqrt{ds_{x}^{2}+ds_{y}^{2}+ds_{z}^{2}}$の極座標版である角度パラメータね。
$ds_{\mu} ds_{\nu}$は$ds_{\mu} \land ds_{\nu}$（ウェッジ積）の省略形なので、結局ウェッジ積って何？
外積代数とか言われてるようだが、これクロス記号を外積と勘違いしてるんじゃなくて？
だって外積だったら、結果の置き場所に新たな直交軸増えちゃうだろ。（演算定義バグ！m9(o_o)）
まぁ置き場所はともかく、ウェッジ積は（分解線素の張る）微小面積ですおでおｋ、なのか。。
積分は面積を意味するのだから、これ曲面の面積を知りたい（計量汁）場合ってことだよね？
ま、目的はパーソナルなものだから、俺はそうしたかったんだよ！( °Д°)ｸﾜｯ と言われりゃそれまでか。
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『内積が定義されたベクター空間とは、$(\mu,\nu)=g(\mu,\nu)$となる計量テンソルgが与えられた空間のことで。 それがユークリッド空間ということなのだ。
むちゃくちゃ普通の空間だね。』＜●＞π
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ん？ やっぱ”内積”ナン？
あらためて、、意味わからんわ～～～～～！！！щ(°д°щ)
アカン。 もうここらへんは、俺には堂々巡りだ。
そうか、線素はテンソルによって変化する”ベクター”ゆえに外積。
テンソルは（各角度の）変化率なのだから”スカラー”ゆえに内積でおｋ？
でも、（地球人類的には）非ユークリッド幾何学とかなんとか言われてたとも思うが。
ま、ややこしくなるので、この際相対論は無関係だと思いたし(;´Д｀)
『ベクター$e_i$⨂$e_j$で、
$i=j$ ならば $e_i$⨂$e_j=1$
$i\neq j$ ならば $e_i$⨂$e_j=0$
ということにすれば、ウェッジ積（外積）は結局、内積になるのでは？』＜●＞π
(；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
対称双線型ベクター
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『では、なぜ$x=0$が$1$への正規化に繋がるのだね？
$0$が微分の結果、$1$は積分の結果であることに気付かねばならんよ。
それがノームだ。
それを単位とした空間の性質だがな。。 ただ、これは全射的意味での単位だな。
縦$|\varphi\rangle$ベクターと横$\langle \varphi |$ベクターの共役テンソルのなすベクター空間を1とするのだ。
詐欺なのだ。』＜●＞π
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わかったぞ、ディラックの野郎。
$\langle f,\phi\rangle$はディラックの内積というインチキ記号だが。。
これは$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(t)\phi(t)dt$てな意味で。
まぁこの際、それはいいとして。
$\langle f',\phi\rangle=-\langle f,\phi ' \rangle$という微分が（どんなヘタレ関数でも）定義出来る余地を与えてしまった。
でかしたのはシュワルツであるが。
考えてみれば全積分（正規化すれば1）から滑らかな導関数の部分積分を引いてるだけやないの。。
それでディラックのインチキ関数が超関数などという扱いに！щ(°д°щ)
前にも言ったけど、これってヤバくね？
だって微分可能性が( ´Д｀)y－~~ などというもったいつけた昭和な言い訳一切通用しないんだぜｗ
大丈夫かよ？ 令和をしょって立つ人畜わ。
実際に微分可能なら問題ありません、とか令和な答えを返されても困るけどなｗ
ま、超関数はチンピラでも、相手方は微分可能な質のよい関数を選ばにゃならん。
ということで、結局、微分可能性とはなんぞや！というのは（一度は）理解せねばね。
まず、関数が連続である（離散でない）ことが微分可能の前提（必要）条件かと思うが。
$\displaystyle \lim_{x \to a}f(x)$が存在してその値が$f(a)$に等しければ、$f(x)$は$x=a$で連続。( ・ิω・ิ) ( ) ( ) ｼ~ﾝ
なんともわかりにくいが、限りなく近づいたときの値が一緒ならくっついてんじゃね？くらいの感じか。
コーシー列につき収束ってことかね。極限値が取れるとか完備とか厄介そうなところ。
でも、数学者は対象空間のそういう性質にこそフォーカスするんだろうけど。
で、$\displaystyle \lim_{x \to a}\frac{f(x+a)-f(a)}{x-a}$が存在するときに$f(x)$は$x=a$で微分可能。（微分係数$f'(a)$）
ん？なんかこれって矛盾してね？
微分可能ならば連続なのさ～。（その逆はない）\(ﾟ`∀´ﾟ)/ｶﾀﾑｷ ｼﾞｪ~ﾑ
へ？(;´Д｀) 微分に関しては数学組織ぐるみの犯行に思えてきたんだがｗ
最終的には一致してても、限りなく近づく経路の傾きは美味しくいただけるんやでってか？
仮想微分取引所乙！微分は数学界の相対性理論や～。\(ﾟ`∀´ﾟ)/
やはり数学は興味の赴くまま突っ走れる世界とちゃう。
それがモチベーションなき素晴らしさという、奇妙な感覚の源泉でもあるのだが。。
ああ、以前に、遷移確率がどうの言ってたときに釣り合いの式なんて話があったけど。
要は、限りなく近づくのに、右（＋）から近づくのと左（ー）から近づくのと釣り合ったら（値が同じならそれが”中間の極限値”）収束でしょうと考えればいいのかな。
そうしてある値が取れるのが連続で、それが変化率（微分係数）だろうが、それも”値”なんだから自動的に連続の条件みたしてんじゃん、てな話なんだな。
(；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
俺様仮想計量
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『内積空間とは、”実数”$R$を定義域とした対称双線型ベクター写像$\langle g,f \rangle$があると言っているのだよ。
数学こそ物理の本質だろう。
いずれにしろ、どっちかだけがよくわかるということはないんじゃないのか？
実は$\langle g,f \rangle$には見えざる未定乗数$\lambda$（ラムダ計算）が隠れている。
すなわち$\displaystyle \sum_{i=1}^{n}\lambda_i x_i b_i$で、これが$x^{T}Ab$てことではないのかね？
それで、相対論もまた同じ構造を持っているベキだ。
そう地球人類は考えてきたんではないか？』＜●＞π
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そういえば内積$a\cdot b=|a||b|cos\theta$が定義された空間が計量空間言うんじゃなかった？
一次従属させて計算するんやでっつうのは、便宜上はわかるんだけど。
（計算軸による各ベクターの計算力率差が生じるのは問題視汁。＜○＞）
『違うよ。
内積が定義されておればシュワルツの不等式$-\|\mu\|\cdot\|\nu\| \leq(\mu,\nu)\leq \|\mu\|\cdot\|\nu\|$が成り立つ。
$\mu,\nu \neq 0$なら$\displaystyle -1\leq \frac {(\mu,\nu)}{\|\mu\|\cdot\|\nu \|}\leq 1$が成り立つ。
これが$\theta$というベクターの相対的な角度が唯一に定まるということだろ。』＜●＞π
へ？そうなん？(;´Д｀) でも外積じゃないやん。。
そもそもベクターの外積は$A\times B=-B\times A$で可換でない。
積というのは、どうやら二項演算の作用の集合積を表しているのだな。
なんで微分というのは自然は微分方程式で記述されとるからだｊｋ！
そして、重力加速度gの存在は微分（変化率）の微分（変化率）、つまり曲率がステーブルであることを物語っている。
思えばベクトル解析でいう勾配（grad）が一次形式で、二次形式は回転（rot）じゃん！
これは曲率積分は円を描くってところから来るんだろうね。
それでその集合積は球面になるというわけだ。なるほどなるほど。
つまり、理論上は局所コンパクトもアリなんだ。（てか、なきゃ困るんだろ？＾＾；）
さて、多様体など幾何学的なアプローチもいいが、座標ありきで物体形状を考えると同じものが見る角度によって別物として表現されてしまう。
主軸変換なるものがあったが、これは基軸ベクターに合わして回転させなはれということだった。
一歩進めて、絶対的な保存量としての図形表現は出来ないものだろうか？
驚異の定理とはそれを保証してるんでわ？
これを満たすものが（第一）基本量というもので。
これはどうやら、すべての曲面はふたつのパラメータによるベクトル関数$p(\mu,\nu)$にて表現出来るというところから来てるらしい。
パラメータは結局、（三次元における）極座標のふたつの角度のことなんだね。
これで球面上のすべての位置ベクターは決定出来ますからな。
そこから$E=p_\mu\cdot p_\mu,F=p_\mu\cdot p_\nu,G=p_\nu,p_\nu$なる三つ組が形状記憶素量らしい。( * )Д`)/ｱｱ
角度だって基準は座標に依存汁けどな。。（微分幾何ビミョー）
さて、高階微分作用は導関数（出力）が原始関数（入力）になる関数適用ゆえに、高階関数（モナド）。
それは滑らかさという特性を表している。
だが、外部からは作用は及ぼせない！モナドの原因は（形而上の）神だからである。
それがポテンシャルなるもので、万有引力の法則性などとは無関係の驚異の定理の物理版かな。
計量テンソルは座標系を決定するが、逆に言えばベクターのスカラー値こそ真の一般化座標と言える。
ただのスカラーである関数の微分値は単位ベクターと掛け合わせて方向微分となる。
計量テンソルの積分型はヒルベルト空間へのマッピングそのものではないか？対象が違うか。
とにかく、これはリーマン計量のように、加速度運動ゆえに二次関数などという”関数の想定”をパラメータ化し、変分形式なるものに一般進化させ、AIが深層学習出来ることを意味するハズ。
(；o_o) ＜●＞π ( ) ( )
俺様仮想テンソル
ベクトル方程式A+B=Cってな感じで、ベクターを普通に足すことは出来るがね。。
これが既に圏論になっていて、$B \circ A = C$ってことだよね？
そもそもベクトル空間だ、ベクトルの原点だという座標概念が仇となり。。
経路によらないんだから、ベクターなんて概念すら要らないじゃん。。(°-° ;)ｷｮﾛ(; °-°)ｷｮﾛ
てなわけで、なんか双対への射影とか共変微分とかベクターの制約に（無駄に）嵌ってねぇか？
まぁテクニシャンなのかもしれないがｗ 本質的な意味あんのかね？とふと疑問に思った。
例えば、将棋の定跡なんかでも研究が進んで、これよくないじゃんと判明すれば、それまでいい方法だと思われてきたものでも、バッサリ枝刈りされてそれが常識化するわけだが。
そんなアカデミックな剪定作業って行われてるのか？
さて、微分形式とは結局、共変テンソル場という名の数格闘場である。(ง・ิω・ิ)ง
そのルールを見ておかなければ、そこに上がることは出来ない。
ユークリッド計量ならば、計量テンソルなんてただの単位行列（１に相当する）である。
だが、これは無意識的に直交座標系を想定していればということだ。
そこの無意識（自覚）を見直すことが先決だ。
困ったことに、普通に地表の測量を考えただけでも、直交座標系など使い物にならないことが分かる。
もしそうしたいのなら、直交座標系の場に地球の各点情報をマッピングしなおさねばなるまい。
我々は、それを地図と言っておるが、そんな定跡が大昔からあったわけではない。（極東乙！）
もう察しているかもしらんが、”ベクターのスカラーが座標系によらない”とは、この計量テンソルで座標を決めておるから、ということだよね。
（ベクターに残るのは、互に素な固有関係という”直交性”だけだろう。）
そもそも座標系によらないなら、ベクターの座標原点！て考え矛盾してね？
座標系を変えたければテンソル（マッピングオペレータ）変えなはれってことだが。
これはどのみち基準”点”のことではない。。
ところで、基底には長さを変えるとベクターの長さが変わる（共変、反変性）があるのだった。
これも測りと対象をいっしょくたにしたことによる構造バグm9(o_o) とでも呼びたいがｗ
普通、計算するのは自分なのだから、計量の途中で俺様目盛なんて変えないｗ
これは、（整合性をもつためには）そういう性質を持つ基準ですなというだけのこと。
そもそも計量テンソル$g_{ij}$とか、べったりと対象（ベクター）に張り付くのだから反変じぁね？
（あくまで計量計算便宜上のものだが）なんとかならんのか？
さて、ベクターからスカラーを取り出す関数$\phi$があるとして（実際、ベクターが保持ってる情報はこれだけ）、これを線型汎関数と言うんだね。
線型汎関数ってのは、写像$T:V\to V'$に$T(x+y)=T(x)+T(y) , cT(x)=T(cx)$という線型性が成り立つのが線形写像とやらだが、この終対象$V'$がスカラーになったもの。
なぜなら、ベクターとそのスカラーは一対一対応するし、スカラー値は当たり前だが普通に演算出来る。
それだけのことかよっ！！！！( °Д°) ＜●＞π
もっともらしい定義をいくら眺めていてもわからんものが。。
ここで勘違いしてはイカンのが、いわゆる固有ベクターとそのスカラーが一体一対応するのではなく、たとえば大きさが$2$のベクターのスカラーは$2$という意味での一対一っつうことだね。
線型汎関数を使えば、核とは$f^{-1}(\hat{0})$のことである。こんなにわかりやすい核の説明があろうか？
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『では、双対というよりも、まずはそもそも線型性とはなんだろうね？
では、対称性とは？
もちろん哲学的な問いではあるが、これを数学的に考えると、どんな関係を指すんだろうね？
そう。たとえば$x=y,y=x$これは対称という関係ではないのかな？
それもご都合主義ということではないのかな？
そもそも、これらの話は何についての性質を論じてるんだろね？
だから、なにをイチイチ逃亡してるんだって！
そもそも、核がわからんてな話をアンタがしてたからじゃないのか？
核はわかったね？
大きさのないベクターっていったい何だろうね？
解（ベクター）の原”点”だろ？
だから”根”とも言われるわけで、すべての解ベクターはそこから出動してるわけだ。
みたいじゃなくて、基地なのだ。』＜●＞π
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線型汎関数を計量テンプレソルとして使えば$\phi^{i}(\cdot)$⨂$\phi^{j}(\cdot)$で普通に計算出来るでしょうが！( °Д°)ｸﾜｯ
あれっ？ これが双対への射影、共変テンソル場っつうことか？？
（つまり、$\omega=V$⨂$V$⨂$V$⨂$V \cdots$なんだから、線型汎関数で双対空間に移せばよくね？とゆこと。）
リーマン積分（つまり普通の積分）$\displaystyle I(f)=\int_a^b f(x)dx$は、区間$[a,b]$上の連続関数全体のなすベクトル空間$C[a,b]$から実数$R$への線型汎関数になっとった。( ・ิω・ิ)ﾅﾝﾉｺｯﾁｬ ( ) ( ) ｼ~ﾝ
(ง・ิω・ิ)ง ＜●＞π
